A539 – Des triplettes diophantiennes Trouver :
Q1 : toutes les triplettes de nombres premiers x, y et z qui satisfont l’équation xy + yx = z.
Q2 : toutes les triplettes d’entiers positifs ou nuls x, y et z tels que 3x + 4y = 5z.
Solution de Jean Nicot
Q1 – On a une solution évidente (x, y} = {3, 2} avec z= 17.
Si x et y sont impairs, z sera pair non premier, donc x ou y est égal 2.
On peut supposer que y=2 sans nuire à la généralité.
x2 + 2x = z avec x>3 pour éviter la solution évidente.
Avec x premier et supérieur à 3, x est égal à +1 ou -1 modulo 3, et x² est multiple de 3 +1.
Modulo 3, 2x =(-1)x = -1 comme x est impair alors x2 + 2x est multiple de 3 et non premier.
Il n’y a qu’une solution z=17 et {x, y} = {3, 2}.
Q2 – On a une solution triviale x=0, y=z=1.
Modulo 3, l’équation 3x + 4y = 5z devient 1= (-1)z alors z est pair soit z=2z’
Modulo 4, l’équation devient (-1)x = 1z donc x est pair soit x=2x’
L’équation peut s’écrire 32x’= (5z’- 2y)(5z’+ 2y) d’où
5z’- 2y =3n et 5z’+ 2y =32x’-n avec 0 <= n <= 2x’-n <= 2x’
On a donc 2*5z’=3n + 32x’-n et 2*2y = 32x’-n - 3n
Pour que la relation 2*5z’=3n + 32x’-n soit vérifiée modulo 3, il faut n=0.
Alors 2*2y = 32x’ – 1= (3x’ + 1) (3x’ – 1) soit 3x’ - 1= 2m et 3x’ + 1=2y+1-m avec 0 <= m <= y+1-m <= y+1.
Il vient 3x’=2y-m +2m-1 donc m=1 car 3x’ est impair, soit 3x’=3 d’où x’=1 et x=2.
Comme 2*2y = 32x’ – 1= 8 soit y=2
Comme 2*5z’= 1 + 32x’= 10 soit z’=1 et z=2
On trouve la solution x=y=z=2, et il n’y en a pas d’autres avec des valeurs plus élevées des inconnues.
