Donc on peut supposer b et g premiers entre eux pour la recherche d’une solution non proportionnelle `a une solution plus petite

Enonc´e A469 (Diophante) : L’arm´ee de Napol´eon Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Tel qu’il est formul´e, l’´enonc´e admet plusieurs r´eponses, comme on va le voir.

La plus petite est 463² = 214369, je ne connais pas de m´ethode donnant la totalit´e des r´eponses.

Form´es en carr´e, la Garde, un r´egiment, le premier grand carr´e et la forma- tion de bataille ont respectivementg, r, c, b hommes dans chaque rang.

On a les relationsg²+ 7r² =c², g²+ 14r² =c²+ 7r²=b².

On constate d’abord que bet g ont mˆeme parit´e. Comme b²+g² = 2c², et b²−g² = 14r², on voit que tout facteur commun `abetgdivise aussicetr, et on peut obtenir une solution plus petite en divisantg, r, c, bpar PGCD(b, g).

Donc on peut supposer b et g premiers entre eux pour la recherche d’une solution non proportionnelle `a une solution plus petite.

On observe ensuite que les entiers (b−g)/2,(b+g)/2, csont les cˆot´es d’un tri- angle rectangle. Un proc´ed´e classique de param´etrage est le suivant. Quitte

`

a changer le signe deg, la fraction irr´eductible m

n = 2c+b+g

b−g = b−g 2c−b−g

est telle que m et n, premiers entre eux, sont de parit´e contraire¹. On en tire

2c+b+g

m² = b−g

mn = 2c−b−g

n² =

= 4c

m²+n² = 4b

m²−n²+ 2mn = 4g

m²−n²−2mn =

= 2(b+c)

m(m+n) = 2(b−c) n(m−n),

avec 4 comme valeur commune de ces rapports (les d´enominateurs de la seconde ligne sont premiers entre eux, les num´erateurs ont pour PGCD 4).

On en d´eduit 7r²=b²−c² = 4mn(m+n)(m−n).

Les 4 facteurs m, n, m+ n, m−n sont 2 `a 2 premiers entre eux. Leurs facteurs premiers ´etant (7 mis `a part) ceux der/2, on peut poserr= 2tuvw et identifierm, n, m+n, m−n(dans un ordre convenable) `a 7t<sup>2</sup>, u<sup>2</sup>, v<sup>2</sup>, w<sup>2</sup>, avec t, u, v, w premiers entre eux 2 `a 2.

•Si 7t²´etaitm+nou m, commem=n+ (m−n), 7 diviserait une somme de deux carr´es premiers entre eux, ce qui est impossible².

1Changer le signe degrevient `a ´echanger les rapportsm/net (m+n)/(m−n).

2Selon un th´eor`eme de Fermat, un nombre premier divisant une somme de 2 carr´es premiers entre eux peut s’´ecrire comme une telle somme ; ce n’est ´evidemment pas le cas de 7.

1

• Si 7t² ´etait n, on aurait trois carr´es m − n, m, m+ n en progression arithm´etique de raisonn= 7t², ce qui constituerait une solution du probl`eme, plus petite que la progressiong², c², b² de raison 7r²; ce cas ne peut fournir la solution minimum, nous y reviendrons.

•Si 7t² est m−n, c’est la diff´erence de deux carr´esu²−v². Pour r´esoudre le syst`emeu<sup>2</sup>−v<sup>2</sup> = 7t<sup>2</sup>, u<sup>2</sup>+v<sup>2</sup>=w<sup>2</sup>, on peut chercher une solution par tˆatonnements, mais d`est= 1 on y satisfait avec

u= 4, v= 3, w= 5 ; puis m= 16, n= 9, r= 120, g= 113, c= 337, b= 463.

L’arm´ee de Napol´eon a donc au moins 463² = 214369 hommes, la Garde en ayant alors 113² = 12769, les autres r´egiments 120²= 14400.

La conditiong < r, qui n’a pas ´et´e utilis´ee dans le raisonnement, est v´erifi´ee par cette solution, qui est ´evidemment la plus petite puisquet≥1.

Revenons au casn= 7t², en empruntant t, u, v, w `a la solution minimum : n= 7·120², m−n= 113², m= 337², m+n= 463², puis pour les cˆot´es des diverses formations en carr´es :

m²−n²−2mn= 2·337⁴−463⁴=−20158232639 =g (au signe pr`es), 2tuvw= 2·120·337·113·463 = 4231560720 =r,

m²+n² = 337⁴+ 49·120² = 23058557761 =c, m²−n²+ 2mn= 2·337⁴−113⁴= 25632788161 =b avec pour nombre total d’hommes

b²= (25632788161)² = 657 039 828 906 701 761 921 mais la conditiong < r n’est pas satisfaite.

J’ignore s’il existe des r´eponses interm´ediaires entre 214369 et celle-ci.

Remarque. Un sp´ecialiste de th´eorie des nombres, Nguyen Quang Do Thong, pointe la faiblesse de l’approche par tˆatonnements : on n’est pas assur´e que les tˆatonnements aboutissent un jour. Il propose comme exemple de remplacer 7 par 3 dans l’´enonc´e pr´ec´edent.

De fait, un raisonnement calqu´e sur le pr´ec´edent (car 3, comme 7, ne peut diviser une somme de 2 carr´es premiers entre eux) conduit pour une plus petite solution au syst`eme

u²+v²=w², 3t²=u²−v²=w²−2v²,

et ce syst`eme est sans solution, car 3 ne peut pas non plus diviser l’expression w<sup>2</sup>−2v<sup>2</sup> o`uwetvsont premiers entre eux³. La conclusion est la mˆeme pour tout nombre premier de la forme 8k+ 3.

Que peut-on dire quand on remplace 7 par un autre entier ? C’est le tr`es an- cien “probl`eme des nombres congruents”. On voit l’int´erˆet, `a d´efaut d’une preuve d’impossibilit´e, d’un crit`ere de possibilit´e v´erifiable en un nombre fini d’´etapes. Tunnell a propos´e un crit`ere ayant cette qualit´e, mais en s’ap- puyant sur une conjecture de th´eorie des nombres non encore d´emontr´ee.

3S’il la divisait, il pourrait s’exprimer sous la mˆeme forme, or c’est impossible modulo 8. On peut le montrer de mani`ere analogue au th´eor`eme de Fermat pr´ecit´e.

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