Th´ eorie des Nombres - TD7

Universit´e Pierre & Marie Curie Master de math´ematiques 1

Ann´ee 2013-2014 Module 4M020

Th´ eorie des Nombres - TD7

Compl´ ements sur les extensions (multi)quadratiques

Exercice 1 : Soitk/Qun corps quadratique r´eel, i.e. de la formek=Q(√

d), avecd≥2 entier sans facteur carr´e.

a) Donner l’anneau des entiers Zk et la structure du groupe des unit´e Z^∗_k.

b) Montrer que les ´el´ements de Z^∗_k sont en bijection avec les solutions enti`eres de l’´equation de Pell-Fermatx²−dy² =±1 (resp.x²−dy² =±4) sid≡2,3 [4] (resp. sid≡1 [4]).

c) Soit η := a+b√

d∈Z^∗_k telle queη > 1 et a >0. Montrer que η est une unit´e fondamentale si et seulement si aest minimal parmi toutes les unit´es η⁰ = a⁰+b⁰√

d∈ Z^∗_k telles que η⁰ > 1 et a⁰ >0. En d´eduire un algorithme pour d´eterminer explicitementZ^∗_k.

d) D´eterminer explicitement Z^∗_k pour d= 2,3,5,6,7,10,11,13,14,15,17,19.

Exercice 2 : Soient m, n ∈ Z\ {0; 1} distincts sans facteur carr´e. On note K := Q(√ m,√

n) et k:= _pgcd(m,n)^mn 2. L’objectif de cet exercice est de calculer ZK.

a) Montrer que (1,√ m,√

n,√

k) est une Q-base de K.

b) Soit α ∈ K. Montrer que α ∈ ZK si et seulement si Tr_K/Q(^√_m)(α) et N_K/Q(^√_m)(α) sont des entiers alg´ebriques dans Q(√

m).

c) On suppose que m ≡ 3 [4] et n ≡ 2 [4]. Montrer que tout ´el´ement α ∈ ZK s’´ecrit α =

a+b√ m+c√

n+d√ k

2 avec a, b, c, d ∈ Z. Puis montrer que a et b sont pairs, et que c ≡ d[2]. En d´eduire qu’uneZ-base de ZK est donn´ee par

1,√ m,√

n,

√n+√ k 2

! .

d) On suppose que m ≡ 1 [4] et n ≡ 2 ou 3 [4]. Montrer que tout ´el´ement α ∈ ZK s’´ecrit α =

a+b√ m+c√

n+d√ k

2 avec a, b, c, d∈ Z. Puis montrer que a≡b [2] et c ≡ d[2]. En d´eduire qu’une Z-base deZK est donn´ee par

1,1 +√ m 2 ,√

n,

√n+√ k 2

! .

e) On suppose que m ≡n≡1 [4]. Montrer que tout ´el´ement α ∈ZK s’´ecrit α = ^a+b

√m+c√ n+d√

k 4

avec a, b, c, d∈Zde mˆeme parit´e. En d´eduire qu’uneZ-base de ZK est donn´ee par 1,1 +√

m

2 ,1 +√ n

2 ,(1 +√

n)(1 +√ k) 4

! .

f) Conclure en r´ecapitulant dans tous les cas possibles quel est l’anneau ZK.

Exercice 3 : Soient m, n ∈Z\ {0; 1} distincts sans facteur carr´e, tels que m≡n ≡1 [8]. On note K:=Q(√

m,√

n),α := ¹⁺

√n

2 etβ := ¹⁺

√m 2 . a) Montrer que ZK =Z[α, β].

b) Montrer que l’anneauZK/2ZK est isomorphe `a l’anneau A:=F2[X, Y]/(X²−X, Y²−Y).

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c) Montrer qu’il existe au moins quatre morphismes d’anneaux distinctsA→Z/2Z. d) Montrer que pour tout polynˆome P ∈F2[X],A n’est pas isomorphe `aF2[X]/(P).

e) Montrer qu’il n’existe pas d’entier x∈ZK tel queZK =Z[x].

Exercice 4 : Soient d1, . . . , d_k des entiers positifs non carr´es, multiplicativement ind´ependants dans Q^∗/(Q^∗)². On note K :=Q(√

d₁, . . . ,√ d_k).

a) Montrer que dans un corps quadratique r´eel, le conjugu´e d’une unit´eu est ´egal `a ±u⁻¹. b) Identifier le groupe de Galois de K/Q.

c) Calculer le rang de Z^∗_K.

d) Pour toute partie non vide I ⊂ {1, . . . , k}, on pose d_I := Q

i∈Id_i et on note u_I une unit´e fondamentale deQ(√

d_I). Montrer que le sous-groupe de Z^∗_K engendr´e par lesu_I est d’indice fini dansZ^∗_K.

[Indication : on pourra montrer par r´ecurrence surkque lesuIsont multiplicativement ind´ependants.]

e) On consid`ereK =Q(√ 2,√

3). Calculer les unit´es fondamentales des sous-corps quadratiques de K/Qet montrer que le sous-groupe engendr´e par celles-ci dansZ^∗_K n’est pasZ^∗_K tout entier.

[Indication : on pourra par exemple montrer que deux de ces unit´es quadratiques sont des carr´es dansZK.]

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