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Solution proposée par Jean Nicot Soit a l’angle A1

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Academic year: 2022

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(1)

D2908. Une perle de Victor Thébault ***

On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A1,A2,...,Ak.

Soient O1 la point symétrique de O par rapport à la corde A1Ak-1 et O2 le symétrique de O par rapport à la corde A2A6.

O1O2 a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).

Déterminer k.

Solution proposée par Jean Nicot Soit a l’angle A1OA2 = 2π/k

O se projette en H sur la corde A1Ak-1. OH= cos(a) et OO1=2cos(a).

OO1 passe par le point Ak.

Les coordonnées de O1 sont {2 cos²(a) ; – 2cos(a) sin(a)} = {1+cos(2a) ; – sin(2a)}

O se projette en K sur la corde A2A6. OK= cos(2a) et OO2 =2cos(2a).

OO2 passe par le point A4.

Les coordonnées de O2 sont {2 cos(2a)cos(3a) ; 2cos(2a) sin(3a)}

O1O2² =(1+cos(2a) – 2 cos(2a)cos(3a))² + (2cos(2a) sin(3a)+ sin(2a))².

Le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ) a pour carré 3 On obtient une solution pour k=26

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