Ch 13 : Equations et Inéquations I Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue
1) Méthode de résolution
Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue revient à trouver la valeur de l’inconnue vérifiant cette équation. Cette valeur trouvée sera appelée SOLUTION de l’équation.
A partir d’un exemple : Soit une équation 4𝑥−4= 2𝑥 + 5 4𝑥−4= 2𝑥 + 5 Règles utilisées :
-Si on ajoute ou soustrait une même valeur aux deux membres d’une équation, on ne modifie pas les solutions de l’équation
-Si on multiplie ou divise par une même valeur non nulle les deux membres d’une équation, alors on ne modifie pas les solutions de l’équation.
2) Différents types d’équations du 1er degré à savoir résoudre Résoudre les équations suivantes :
3 5𝑥 =6
7
4𝑥−5=12−(2−6𝑥) 3 𝑥−5 =−4(9−𝑥)
3) Mise en équation d’un problème à une inconnue Enoncé :
Si j’achète 12 livres il me manque 5 euros . Si j’en achète 10, j’ai 7 euros de trop. Combien coûte un livre ? Méthode :
a. Introduction de la variable inconnue : Soit x ………
b. Traduction du problème posé par une équation : ………...
c. Résolution de l’équation :
d. Répondre au problème par une phrase :
II Equation produit 1) Définition
Définition : On appelle « EQUATION PRODUIT », une équation qui s’écrit sous la forme d’un produit de facteurs égal à 0.
Exemple : 2𝑥+3 4𝑥−2 =0 est une équation produit . 2) Théorèmes
Théorème 1 :
Si un produit de facteurs est NUL , alors au moins un des facteurs est NUL Si 𝑎×𝑏 =0 alors a = 0 ou b = 0
Théorème 2 :
Si dans un produite, au moins un des facteurs est NUL, alors ce produit est NUL Si a = 0 ou b = 0 alors 𝑎×𝑏= 0
On peut remarquer que le théorème 2 est la ………..……. du théorème 1
• « 𝒂×𝒃=𝟎 si et seulement si 𝒂= 𝟎 𝒐𝒖 𝒃= 𝟎 » est un synthèse des théorèmes 1 et 2
Résolution de l’équation produit : 𝟐𝒙+𝟑 𝟒𝒙−𝟐 = 𝟎
Comment rédiger ? 2𝑥+3 4𝑥−2 =0
𝒂×𝒃= 𝟎 si et seulement si 𝒂=𝟎 𝒐𝒖 𝒃=𝟎 ( on cite les théorèmes 1 et 2) 2𝑥+3=0 𝑜𝑢 4𝑥−2= 0 ( on applique )
( on résoud les 2 équations du 1er degré)
Les solutions de l’équation produit 2𝑥+3 4𝑥−2 = 0 sont ………… . On notera 𝑆=
III Inéquations 1) Définition
Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle une lettre désigne un nombre inconnu
Une solution de cette inéquation est un nombre qui vérifie l’inégalité.
Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes ses solutions.
2) Exemples
3𝑥−4<5𝑥+2 est une inéquation d’inconnue x
Pour x = 3 on a 3×𝟑−4=𝟓 𝑒𝑡 5×𝟑+2= 𝟏𝟕 donc 𝟓< 𝟏𝟕 Cela signifie que x = 3 est une solution de cette inéquation.
Pour x = -‐10 on a 3× −𝟏𝟎 −4=−𝟑𝟒 𝑒𝑡 5× −𝟏𝟎 +2=−𝟒𝟖 donc −𝟑𝟒> −𝟒𝟖 Cela signifie que x = -‐10 n’est pas une solution de cette inéquation.
IV Propriétés des inégalités
1) Addition et inégalité
Propriété :
a, b et c trois nombres relatifs
Si 𝑎≤ 𝑏 alors 𝑎+𝒄≤ 𝑏+𝒄
Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on ne change pas le sens de cette inégalité.
Exemple :
Si 𝑥+3≥7
alors 𝑥+3+ −𝟑 ≥ 7+(−𝟑) donc 𝑥 ≥ 4
2) Multiplication et inégalité
Propriété :
a, b et c trois nombres relatifs
• Si 𝑎≤ 𝑏 alors 𝑎×𝒄 ≤𝑏×𝒄
• Si 𝑎≤ 𝑏 alors 𝑎×𝒄 ≥𝑏×𝒄
Lorsqu’on multiplie par un même nombre non nul les deux membres d’une inégalité :
-‐ Si ce nombre est positif, on conserve le sens de cette inégalité.
-‐ Si ce nombre est négatif, on change le sens de cette inégalité.
Exemples :
Si 3𝑥≤8 !
! est positif, l’ordre est conservé
alors !
! × 3𝑥 ≤ 8 × !
!
donc 𝑥 ≤ !!
Si −!!𝑥<3
−5 est négatif, l’ordre est inversé
alors −5 ×!!! 𝑥 > 3× (−5)
donc 𝑥 > −15
3) Représentation des solutions d’une inéquation
𝑥≤ 8 3
Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à !!
𝑥>−15
Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres strictement inférieurs à -‐15
On représente ces solutions sur une droite
IV Applications
Enoncé 1 : Résoudre les inéquations suivantes :
3𝑥−12< 6𝑥
−2
3𝑥 ≤ 6+1 6𝑥
Enoncé 2 :
La somme du triple d’un nombre x et de 6 est au plus égale à 9. Traduire cette phrase par une inéquation puis représenter les solutions sur une droite graduée.
Enoncé 3 : Préambule
Lorsque 𝑥< 10 et 𝑥≥ 4 , on peut écrire : … ≤ 𝑥 < …
Ceci est un encadrement de x . On dit que x est compris entre 4 et 10 (4 inclus et 10 exclu)
On sait que −3< 𝑥≤5
Donner un encadrement de 4𝑥−2
Donner un encadrement de −3(𝑥+4)
