La valeur de ce paramètre est inconnue

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ENFA - Bulletin du GRES n°3 –juin 1996 page 16 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

QUAND DEUX TESTS SE REJOIGNENT...

Voici un exercice bien classique :

On sait qu'une maladie atteint 10% des jeunes ovins d'une région donnée. Un chercheur a expérimenté un nouveau traitement sur un échantillon de n agneaux. il a alors recensé 6% de malades. A l'aide d'un test que l'on précisera, au seuil de risque de 5%, déterminer la valeur minimale de n qui permet au chercheur de conclure que les résultats avec le nouveau traitement sont différents des résultats précédents.

A :Une première méthode consiste à faire un test de conformité de la proportion.

Nous disposons d'un échantillon de taille n, dans lequel la proportion de malades est p = 0,06.

Cet échantillon est extrait d'une population dans laquelle la proportion de malades est π. La valeur de ce paramètre est inconnue. La référence est π0 = 0,10.

1 Posons les hypothèses: H0 : "π = π " et H1 : "π ≠ π0". Le test est bilatéral.

2 Définissons le modèle : En supposant que n est grand, la variable aléatoire P qui, à chaque échantillon de taille n, associe la proportion de malades, est approximativement normale, de moyenne π, et d'écart type π(1−π)

n ^. Sous Ho, la V.A. U P

n

= −

× 0 10 0 10 0 90

,

, , est normale centrée réduite.

3 Le risque est fixé à 0,05.

4 La valeur critique est donc 1,96..car prob (-1,96 < U < 1,96) = 0,95.

5 La valeur observée, pour l' échantillon prélevé, est :

u

n

obs = −

× = − 0 06 0 10

0 10 0 90

0 4 3

, ,

, .

6 Règle de décision: On rejette Ho si uobs < - 1,96 ou uobs > 1,96..

7 Conclure à une différence revient à rejeter H0 .Puisque uobs est négatif, il faut donc que uobs soit inférieur à -1,96, soit n supérieur à 216.

Le chercheur pourra conclure à une différence, au risque 5% de se tromper, si l'échantillon contient au minimum 217 agneaux.

B Une autre méthode consiste à faire un test de Khi-Deux d' ajustement.

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Attention, ce test permet de comparer des effectifs, et non des proportions.

Dans l' échantillon de n agneaux il y a ( 0,06 × n ) agneaux malades et ( 0,94 × n ) agneaux sains .

1 Posons les hypothèses : Ho" les effectifs observés sont conformes aux effectifs théoriques ". H1 " ils ne le sont pas ".

2 Le modèle : Sous H0, les effectifs théoriques sont (0,10 × n) pour les malades

et ( 0,90 × n ) pour les sains .

La V A χ² = − ²

∑ ⁽ⁿⁱ _c ^cⁱ⁾

classes i

suit la loi de Khi-Deux à (p - 1) ddl où p = 2. p étant le nombre de classes, ci l' effectif théorique et ni l' effectif observé de la i-ème classe.

Rappelons que le test de Khi Deux est toujours unilatéral.

3 Le risque est fixé à 0,05.

4 La valeur critique est 3,84 puisque prob ( χ ² < 3,84 ) = 0,95 pour 1 ddl.

5 La valeur observée pour l'échantillon :

ni ci

malades 0,06 n 0,10 n

sains 0,94 n 0,90 n

χ_obs n n

n

n n

n

2 0 06 0 10 2 2 n

0 10

0 94 0 90 0 90

0 16

= ( , − , ) + − = 9 ,

( , , )

,

6 Décision : On rejette H0 dès que χ ² obs > 3,84 soit n > 216

7 Conclusion : Il est rassurant de constater que les deux tests aboutissent au même résultat.

La similitude entre ces deux méthodes ne s'arrête pas là. En effet, avez vous remarqué que : le carré du uobs ( 1ere méthode ) est égal au χ ² obs ( 2eme méthode )

et que 1,96 ² = 3,84 . C' est magique, non ?

Est ce le hasard ? Il intervient si souvent dans nos discours....

Non, bien sur.Essayons de comprendre pourquoi.

La somme des carrés de n variables aléatoires normales centrées réduites indépendantes est une variable aléatoire distribuée selon la loi de Khi-Deux à

n degrés de liberté.

Si n = 1, une V A de Khi Deux à 1 ddl est donc le carré d' une V A normale centrée réduite, d'où la similitude étroite entre les deux tests.

De plus, prob (U ² < a) = prob (− a < <U a) pour a positif, le test de Khi Deux unilatéral correspond bien à un test gaussien bilatéral.

(3)

A ce propos, certains diront qu' un test unilatéral aurait été plus adapté pour la première méthode, on cherche en effet à mettre en évidence l' efficacité du nouveau traitement.

Dans ce cas, on compare le uobs à 1,645. Or 1,645² = 2,71 et 2,71 est la valeur critique d' une V A de Khi Deux à 1 ddl, mais au risque de 10%, vous l' aviez compris.

___________________________________

Nous retrouvons cette similitude entre le test d'indépendance du Khi-Deux (si chacun des deux caractères n'a que 2 modalités) et le test de comparaison de deux proportions.

Vous pouvez le vérifier sur l'exemple suivant : Enoncé

On a relevé les résultats à un examen dans deux centres A et B . Dans le centre A on a : 40 élèves reçus pour 70 canditats présentés.

Dans le centre B on a : 50 élèves reçus pour 70 canditats présentés.

Peut-on admettre que le taux de réussite est le même pour les deux centres ? A vous de jouer !

Eléments de correction :

Pour le test de comparaison en comparant par exemple, les taux de réussite,

uobs =

55 70

60 70 115

140 25 140( 1

70 1 70)

1,10

−

× +

= − où 115

140 représente une estimation du taux commun de réussite (nombre total de reçus / nombre total de candidats)

Pour un risque égal à 0,05, comme - 1,96 < uobs < 1,96, on ne rejette pas Ho, donc nous admettons que le taux de réussite est le même pour les deux centres.

Pour le test d'indépendance entre le caractère "centre" et le caractère "résultat"

χ_obs² 57 5 ² ² ² ²

57 5

15 12 5 12 5

60 57 5 57 5

10 12 5

12 5 1 22

= (55− , ) + − + − + − =

,

( , )

,

( , )

,

( , )

, ,

Au même risque , puisque χ ²obs < 3,84, on ne rejette pas H0 .Nous admettons que le taux de réussite est le même pour les deux centres.

Bien entendu, 1,10 ² = 1,22 ( tenez compte des arrondis ) et 1,96 ² = 3,84 .