Chp 3 :
Pour débuter … avec le second degré
feuille n°1 1-ES2 Partir d’un bon pied1- L’ensemble des solutions de l’équation (x+2) (x-1) = 0 est : a) S=2 ; 1
b) S=2 ;-1
c) S=-2 ;-1
d) S=-2 ; 1
2- L’ensemble des solutions de l’équation 2x²-8x = 0 est : a) S= -2 ; 4
b) S= 4
c) S= 0 ;4
d) A une infinité de solutions
3- L’ensemble des solutions de l’équation (x-5)² = 16 est : a) S=9
b) S=1 ; 9
c) S=-4 ; 4
d) S=-5
4- L’ensemble des solutions de l’inéquation x² ≤ 4 est : a) S= [ -2 ;2]
b) S= ] -∞ ;2]
c) S= ] -∞ ;-2]
d) S= [ -4 ;4]
5- L’ensemble des solutions de l’inéquation (x+6) (2-x) ≤0 est : a) S= [-6 ; 2]
b) S= [-2 ; 6]
c) S=]-∞ ;-6][2 ;+∞[
d) S=]-∞ ;-6][-2 ;+∞[
6- Soit f(x) = –2x2 – 8.
a) f (–2) est positif.
b) b. f (–2) est nul.
c) c. f(2) est négatif.
d) d. f(x) est négatif pour toute valeur de x.
7- Parmi les fonctions suivantes, lesquelles ont une parabole pour représentation graphique : a) x↦x²
b) x↦2x +1
c) x↦( 1-x)(1+x) d) x↦-x²-x-1
8- Soit une fonction connue par sa courbe représentative ci-dessous
Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses a) La courbe Cf coupe deux fois l’axe des ordonnées.
b) L’équation f(x) = -2 admet deux solutions : d’environ 0,2 et 3,8 c) L’image de 2 par f est -3
d) L’inéquation f(x) ≥ 0 a pour ensemble de solution [-1 ; 5].
e) Le minimum de f est 2 et il est atteint en -3.
9- On a représenté ci-dessous la fonction définie sur l’intervalle [–1 ; 3] par f(x) = x2 – 2x.
a) L’équation f(x) = 0 a pour solutions 0 et 2.
b) 0 est solution de l’équation f(x) = 0.
c) 1 est solution de l’inéquation f(x) < 0.
d) L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) < 0 est l’intervalle [0 ; 2].
10- Les questions Q1 et Q2 se réfèrent au graphique ci-dessous.
Q1 : La fonction f admet sur IR : a) Un maximum égal à -2 en 0 b) Un minimum égal à -2 en 0 c) Un maximum égal à 0 en -2 d) Un minimum égal à 0 en -2 Q2 : L’ensemble de solutions de l’inéquation g(x) < 0 est
a) S=0 ;2
b) S=[0 ;2]
c) S=]-∞ ;0[]2 ;+∞[
d) S= ]0 ;2[
Chp 3 :
le second degré
feuille n°21) Factoriser les expressions suivantes :
x² - 8x + 16 x² + 6x + 9 16x² - 81
( 4x – 1 )² - 9 ( 2x – 1 )² - ( x + 3 )² ( x + 5 )² - 16 ( x – 3 )² 2) Après avoir factorisé, résoudre les équations suivantes :
2x² - 28x + 98 = 0 ( 5x + 2 )² = ( x – 3 )² 4x² = 81 9x² - 1 = ( 3x – 1 ) ( x + 2 ) Partie 2 : Vers la forme canonique
1) Compléter les égalités suivantes :
x² - 6x + ……… = ( x - ……… )² x² + 4x + ……… = ( x + ……… )² x² + 8x + ……… = ( ……… … ……… )² x² + 3x + ……… = ( ……… … ……… )² 2) En utilisant les égalités précédentes, compléter :
x² - 6x = ( x - ……… )² - ……… x² + 4x = ( x + ……… )² - ………
x² + 8x = ( ……… … ……… )² - ……… x² + 3x = ( ……… … ……… )² - ………
3) En remplaçant les deux premiers termes par les résultats obtenus dans 2), factoriser, quand cela est possible, les expressions suivantes, puis résoudre les équations dans IR.
x² - 6x + 8 = 0 x² + 4x – 21 = 0
x² + 8x – 20 = 0 x² + 3x + 5 = 0
4) En utilisant la méthode suggérée dans les questions précédentes, factoriser les expressions suivantes quand cela est possible :
x² + 10x – 24 -x² - 4x + 5 -x² + 3x – 5 3x² + 6x – 45
Q.C.M.
Choisir la (ou les) affirmation(s) juste(s) 1) On considère la fonction f définie, pour tout x réel, par f(x) = x2– x – 2.a. f(x) = (x – 1)2 – 3 b. f(x) = (x – 0,5)2 – 2,25 c. f(x) = (x – 1)(x + 2) d. f(x) = (x + 1)(x – 2)
2) On considère la fonction f définie, pour tout x réel, par f(x) = 2[(x + 1)2– 4].
a. f(x) = 2(x – 3)(x + 5) b. f(x) = 2(x – 1)(x + 3) c. f(x) = (2x – 2)(2x + 6) d. f(x) = (2x – 2)(x + 3)
3) On considère la fonction f définie, pour tout x réel, par f(x) = –3[(x – 12 )2 + 74 ] a. f(x) = –3(x2– x + 2)
b. f(x) = –3(x2+ 32 ) c. f(x) = –3x2– 3x + 6 d. f(x) = –3x2+ 3x – 6 4) Soit l’équation (E) : (x + 3)2 = 16
a. (E) est équivalente à x + 3 = 4
b. (E) est équivalente à (x – 1)(x + 7) = 0 c. (E) est équivalente à x2+ 6x – 7 = 0 d. (E) a deux solutions.
Chp3 : :
Le second degré : fiche d’exercices
feuille n°31) Forme canonique
Exercice 1 : Mettre sous forme canonique les polynômes suivants.
P1 (x) = x2– 4x + 5 P2(x) = x2– 10x + 25 P3(x) = 2x2+ 8x + 6
2) Résolution d’équations
Exercice 2 : Résoudre dans IR les équations suivantes
(n’utiliser le discriminant que lorsque cela est nécessaire).
1) 5x² + 14x – 3 = 0 11) –x2+ 36x – 323 = 0 21) 7x2+ 8x = 0 2) –2x² + 3x – 7 = 0 12) –2x2+ x – 4 = 0 22) x2= 5
3) x² + x + 1 = 0 13) 5x2– 7x – 6 = 0 23) –25x2+ 30x – 9 = 0 4) 4x² – 4x + 1 = 0 14) x2+ 13x – 4 = 0 24) –25x2– 49 = 0 5) –x² + 7x – 1 = 0 15) 7x² + 9 = 9 25) –12x² + 3x = 0 6) 2x2– 7x + 3 = 0 16) x23 – 5x – 3 = 0 26) x² – 12 = 0 7) 13x2– 3x + 7 = 0 17) –5x² + 3 = 0 27) x² + 12 = 5x2
8) 49x2– 28x + 4 = 0 18) 5x² – 11x = 4 28) 2x ² – 2x – 50 = 4 + 10x 9) 8x2+ 3x – 20 = 0 19) 3x² + 20x +50 = – 4x +5 29) 16x2+ 6x = 1
10 14 x² –45 x +1625 = 0 20) x² –16 x –16 = 0 30) 13 x² – 6x + 27 = 0 Exercice 3 : Résoudre dans IR les équations suivantes :
a) (2x + 1)2= –2x + 5 b) (2x + 3)(x – 1) = (3x – 2)(2x – 6) c) (x + 2)(x2 – 3) = (2x + 3)(x2 + x – 2)
d) 2x2-3x+12x-1 = 2 e) x+3x-1=2x-3x-2 f) –x2-x+11 x2-3x-4 =1 g) 2x-3x+2-2x+3x-2=-143
3) Factorisation d’un trinôme
Exercice 4 : Factoriser en produit de facteurs du premier degré, si possible, les trinômes suivants : 1) 3x2+ 8x – 11 4) 20x2+ x – 12 7) –9x2+ 6x – 1
2) x2– 3x – 10 5) x2+ 4x – 21 8) 6x2– x – 2 3) x2+ x + 1 6) 2x2+ 9x – 5 9) 30x2– 5x – 10
4) Résolution d’inéquations
Exercice 5 : Etablir le tableau de signes des fonctions suivantes :
f1(x) = –15x² – x + 2 f2(x) = 2x² + 3x + 12 f3(x) = –3x² + 42x – 147 f4(x) = 2x-3–x2+9x+10 f5(x) = (x – 5)(–2x² + 15x – 7)
Exercice 6 : Résoudre dans IR les inéquations suivantes :
1) 4x2– 15x + 16 < 0 8) –3x2 + 2x – 5 < 0 15) 3x2– 5x – 2–4x2– 3x + 1 0 2) 3x2+ 5x – 2 0 9) –2x2– x + 6 0
3) x2 – 6x + 9 > 0 10) –5x2+ x + 3 < 0 4) 2x² + x – 3 0 11) 10x ² – 20x 3x² + x + 70 5) 4x² – 25 0 12) 7x ² – 21x – 70 > 0
6) x² + 3 0 13) (x2 – 16)(–x2 + x – 1) 0
7) –x² + 4x – 4 > 0 14) (–6x² – x + 1)(–2x² + 7x – 3) > 0
5) Trinôme et représentation graphique
Exercice 7 : En calculant les discriminants, associer chaque fonction à se représentation graphique : 1) f : x –x2– 3x – 1 g : x x2– 5x + 3 h : x x2– 3x + 5 k : x –x2– 5x – 7
2)
f : x x2– 15x + 36 g : x –x2+ 6x + 16 h : x x2+ 3x + 10 k : x –x2+ x – 8
Exercice 8 :
Le graphique ci-contre donne les courbes représentatives de six fonctions trinômes.
Retrouver parmi ces courbes, lesquelles représentent les fonctions T1, T2, T3 , T4 définies ci-dessous. Justifier.
T1(x) = x2+ 2x – 8 T2(x) = –2x2+ 8x – 8 T3(x) = 14x2– x + 2 T4(x) = –15 x2 – x+3
