Exercices sur le second degré Exercice 1 :

(1)

Exercices sur le second degré

Exercice 1 :

Voici la représentation graphique d’une fonction f et E ¹; 2, 48

3

 

 

 

1) Déterminer :

 

¹ ^...

f   ^f ^'

 

^{ }¹ ^...

 

¹ ^...

f  ^f ^{' 1}

 

^^...

 

³ ^...

f  ^f ^{' 3}

 

^^...

 

⁴ ^...

f  ^f ^{' 4}

 

^^...

2) Réaliser sur votre copie double le tableau de variation complet de cette fonction sur l’intervalle



^^{1; 4}



^.

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur par : ^{f x}

 

^^x²^⁷^x^⁵

1) Déterminer la fonction dérivée.

2) Etudier le signe de la dérivée 3) Etablir le tableau de variations.

4) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur par : ^{f x}

 

^^x³^³^x²^²⁴^x^⁵

1) Déterminer la fonction dérivée.

4) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

Exercice 4

On considère la fonction f définie sur \ ⁵ 4

  

  par :

 

² ³

5 4 f x x

x

 

 1) Déterminer la fonction dérivée.

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur \ 2 par :

   

² ⁵

2 f x x

x

 

 1) Déterminer la fonction dérivée.

(2)

CORRIGE – Notre Dame de La Merci – Montpellier

Exercice 1 :

Voici la représentation graphique d’une fonction f et

E 1; 2, 48 3

 

 

 ^.

1) Déterminer :

^f

 

^{  }¹ ⁷ ^f ^'

 

^{ }¹ ¹⁶

^f

 

¹ ^¹ ^f ^{' 1}

 

^{ }⁴

^f

 

³ ^{ }⁷ ^f ^{' 3}

 

^⁰

^f

 

⁴ ^{ }² ^f ^{' 4}

 

^¹¹

2) Tableau de variation :

x 1 ¹

3 3 4

2,48 2

 

f x

7 7

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur par : ^{f x}

 

^^x²^⁷^x^⁵

1) Déterminer la fonction dérivée.

f est dérivable en tant que fonction polynômiale.

 

' 2 7

f x  x

2) Etudier le signe de la dérivée

 

⁷

' 0 2 7 0 2 7

f x   x   x  x 2

3) Etablir le tableau de variations.

x  ⁷

2 

 

'

f x  0 +

 

 

f x

7, 25

4) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

    

' 2 2 2

y f x  f avec ^f

 

² ^{ }⁵^et ^f ^{' 2}

 

^{    }^{2 2 7} ³

 

3 2 5 3 6 5 3 1

y  x        x x

Exercice 3

On considère la fonction f définie sur par : ^{f x}

 

^^x³^³^x²^²⁴^x^⁵

1) Déterminer la fonction dérivée.

f est dérivable en tant que fonction polynômiale.

 

² ²

' 3 3 2 24 3 6 24

f x  x   x  x  x 2) Etudier le signe de la dérivée.

(3)

 

⁶ ² ^{4 3}



²⁴



^{36 288} ^{324 18}²

            0 donc deux solutions :

 

1

6 18 6 18 12

2 3 6 6 2

x     

    

 et

 

2

6 18 6 18 24

2 3 6 6 4

x    

   

 3

a donc la parabole est orientée « vers le haut »

 

' 0

f x  si ^x^{   }



^{; 2}

 

^4;^{ }



 

' 0

f x  si ^x^{ }



^{2; 4}



x  2 4 

 

'

f x + 0  0 +

 

33 f x

75

   

² ² ³ ³

 

² ² ²⁴

 

² ⁵ ³³

f           

 

⁴ ⁴³ ^{3 4}² ^{24 4 5} ⁷⁵

f        

4) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 2.

       

' 2 2 2

y f  x  f  avec ^f

 

^{ }² ³³^et ^f ^'

 

^{ }² ⁰

 

0 2 33 33

y x  

Exercice 4

On considère la fonction f définie sur \ ⁵ 4

  

  par :

 

² ³

5 4 f x x

x

 

 1) Déterminer la fonction dérivée.

f est dérivable en tant que quotient de fonctions polynômiales.

On pose ^{u x}

 

^²^x^³^et^{v x}

 

^{ }^{5 4}^x ainsi : ^{u x}^'

 

^²^et^{v x}^'

 

^{ }⁴

       

 

     

2 2 2 2

2 5 4 2 3 4 10 8 8 12 10 8 8 12 2

'

5 4 5 4 5 4 5 4

x x x x x x

f x

x x x x

            

   

   

2) Etudier le signe de la dérivée.

Le dénominateur est strictement positif et le numérateur négatif.

Donc pour tout 4

\ 5 x   

  : ^f ^'

 

^x ^⁰

x  ⁴

5 

 

'

f x  

 

f x

(4)

4) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 3.

    

' 3 3 3

y f x  f avec

 

³ ^{2 3 3} ³ ³

5 4 3 7 7

f      

   et

 

²

2 2

' 3 5 4 3 49

f   

 

 

2 3 2 6 3 2 6 21 2 15

49 3 7 49 49 7 49 49 49 49 49

y x    x   x    x

Exercice 5

On considère la fonction f définie sur ^{\ 2}

 

^{par :}

 

² ⁵

2 f x x

x

 

 1) Déterminer la fonction dérivée.

f est dérivable en tant que quotient de fonctions polynômiales.

On pose ^{u x}

 

^^x²^⁵^et^{v x}

 

^{ }² ^x ainsi : ^{u x}^'

 

^²^x^et^{v x}^'

 

^{ }¹

      ^{ }

 

     

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 5 1 4 2 5 4 2 5 4 5

'

2 2 2 2

x x x x x x x x x x x

f x

x x x x

              

   

   

2) Etudier le signe de la dérivée

 

2 2

4 4 1 5 16 20 36 6

            0 donc deux solutions :

 

1

4 6 10 2 1 2 5

x   

  

   et

 

2

4 6 2 2 1 2 1

x  

   

   1

a  donc la parabole est orientée « vers le bas » : ^f ^'

 

^x ^⁰ pour tout ^{x }



^{1; 2}

  

^ ^2;5

x  1 2 5 

 

'

f x  0 + + 0 

10

 

f x

2

    

¹ ²¹ ² ¹⁵ ^{1 5}^{2 1} ⁶³ ²

f        

   et

 

⁵ ⁵² ⁵ ³⁰ ¹⁰

2 5 3

f     

 

    

' 3 3 3

y f x  f avec

 

³ ³² ⁵ ^{9 5} ¹⁴ ¹⁴

2 3 1 1

f       

  

et

 

2 2

3 4 3 5 9 12 5

' 3 8

2 3 1

f         



 

8 3 14 8 24 14 8 38

y x   x   x

(5)