Etudier les variations de la fonction   1

F ONCTION INVERSE , FONCTIONS COMPOSEES E XERCICES 4C CORRIGE – N OTRE D AME DE L A M ERCI – Montpellier

E XERCICE 4C.1

Etudier les variations de la fonction   ¹

3 9 f x  x

 sur les intervalles  ^{3; }  ^et  ^{ ;3}  puis dresser son tableau de variation sur ^{\ 3 .}  

Les opérations successives de la fonction f sont : 3 3 9 ¹ 3 9

x x x

 x

 Soit ^{a b , }  ^{3; }  ^{tels que 3   a b}

9 3 a 3 b

  

0 3 a 9 3 b 9

     ces quantités sont positives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{0; }  ^donc

1 1

3 a 9 3 b 9 0

  

  ces quantités restent positives

   

f a f b

  donc f est décroissante sur  ^{3; }  ^.

Soit ^{a b ,  }  ^;3  ^{tels que a   b 3}

3 a 3 b 9

  

3 a 9 3 b 9 0

     ces quantités sont négatives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{ ; 0}  ^donc

1 1

0 3 a 9 3 b 9

  

  ces quantités restent négatives

   

f a f b

  donc f est décroissante sur  ^{ ;3}  ^.

x  3 

f

E XERCICE 4C.2

Etudier les variations de la fonction   ⁵

g x 8 2

x

 

 sur les intervalles  ^4;  ^et  ^{ ; 4}  puis dresser son tableau de variation sur ^{\ 4 .}  

Les opérations successives de la fonction g sont : 2 8 2 ^{1 5} 8 2 8 2

x x x

x x

  

 

Soit ^{a b , }  ^{4; }  ^{tels que 4   a b}

8 2 a 2 b

      0 8 2 a 8 2 b

     ces quantités sont négatives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{ ; 0}  ^donc

1 1

0 8 2 a 8 2 b

  

  ces quantités restent négatives

5 5

8 2 a 8 2 b 0

 

  

  ces quantités deviennent positives

   

g a g b

  donc g est décroissante sur  ^4;  ^.

F ONCTION INVERSE , FONCTIONS COMPOSEES E XERCICES 4C Soit ^{a b ,  }  ^{; 4}  ^{tels que a   b 4}

2 a 2 b 8

      8 2 a 8 2 b 0

     ces quantités sont positives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{0; }  ^donc

1 1

0 8 2 a 8 2 b

  

  ces quantités restent positives

5 5

0 8 2 a 8 2 b

 

  

  ces quantités deviennent négatives

   

g a g b

  donc g est décroissante sur  ^{ ; 4}  ^.

x  4 

f

E XERCICE 4C.3

Etudier les variations de la fonction  

  ²

1

5 10

h x

x

  sur les intervalles  ^{2; }  ^et  ^{ ; 2}  puis dresser son tableau de variation sur ^{\ 2}   ^.

Les opérations successives de la fonction h sont :  

 

2

2

5 5 10 5 10 1

5 10

x x x x

x

 

 Soit ^{a b , }  ^{2; }  ^{tels que 2   a b}

10 5 a 5 b

  

0 5 a 10 5 b 10

     ces quantités sont positives

La fonction carré est croissante sur  ^0;  ^donc

   ²  ²

0 5 a 10 5 b 10

     ces quantités sont positives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{0; }  ^donc

  ²   ²

1 1

0 5 a 10 5 b 10

  

  ces quantités restent positives

   

h a h b

  donc h est décroissante sur  ^2;  ^.

Soit ^{a b ,  }  ^{; 2}  ^{tels que a   b 2}

5 a 5 b 10

  

5 a 10 5 b 10 0

      ces quantités sont négatives

La fonction carré est décroissante sur  ^{ ; 0}  ^donc

 ^{5 a 10}   ^{2 5 b 10}  ^{2 0}

     ces quantités sont positives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{0; }  ^donc

  ²   ²

1 1

0

5 a 10 5 b 10

  

  ces quantités restent positives

   

h a h b

  donc h est croissante sur  ^{ ; 2}  ^.

x  2 

f

F ONCTION INVERSE , FONCTIONS COMPOSEES E XERCICES 4C E XERCICE 4C.4

Etudier les variations de la fonction  

  ²

7 15 3 m x

x

 

 sur les intervalles  ^{5; }  ^et  ^{ ;5}  puis dresser son tableau de variation sur ^{\ 5 .}  

Les opérations successives de la fonction m sont :

 

   

2

2 2

1 7

3 15 3 15 3

15 3 15 3

x x x x

x x

   

 

Soit ^{a b , }  ^{5; }  ^{tels que 5   a b}

15 3 a 3 b

      0 15 3 a 15 3 b

     ces quantités sont négatives

La fonction carré est décroissante sur  ^{ ; 0}  ^donc

   ²  ²

0 15 3 a 15 3 b

     ces quantités sont positives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{0; }  ^donc

  ²   ²

1 1

0 15 3 a 15 3 b

  

  ces quantités restent positives

  ²   ²

7 7

0 15 3 a 15 3 b

 

  

 

   

m a m b

  donc m est croissante sur  ^{5; }  ^.

Soit ^{a b ,  }  ^;5  ^{tels que a   b 5}

3 a 3 b 15

      15 3 a 15 3 b 0

     ces quantités sont positives

La fonction carré est croissante sur  ^0;  ^donc

 ^{15 3 a}   ^{2 15 3 b}  ^{2 0}

     ces quantités sont positives

La fonction inverse est décroissante sur  ^{0; }  ^donc

  ²   ²

1 1

0

15 3 a 15 3 b

  

  ces quantités restent positives

  ²   ²

7 7

0

15 3 a 15 3 b

 

  

 

   

m a m b

  donc m est décroissante sur  ^{ ;5}  ^.

x  5 

f