Fonctions et déterminations d'ensembles
(O,→u,→v) est un repère orthonormal direct du plan P .
A et B ont respectivement pour affixe 1 et 4, d est la droite (OA) privée de A, ∆ la perpendiculaire en A à d privée de A et I le cercle de centre A et de rayon 1.
F est l'application qui à tout point m d'affixe z différent de 1 associe le point M d'affixe : Z = f(z) = z2 z – 1. A. On note ϕ et ψ les fonctions
ϕ :
IR → IR x → x2
x – 1
et ψ :
IR → IR x →x2 – 1
1° Etudier les variations de ϕ et de ψ sur leurs ensembles de définition Ex 1 et E2. 2° Etudier les limites de ϕ et ψ aux bornes de E1 et E2 respectivement.
3° Donner les tableaux de variations de ϕ et ψ. 4° Déterminer les images ϕ (E1) et ψ (E2).
B. 1° On suppose dans cette question que M a pour affixe 3.
Ecrire sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle, les affixes z de m telles que f (z) = 3.
2° On suppose dans cette question que : z = 1+ eiθ (θ ∈ IR).
a) Calculer, en fonction de A, l'affixe Z de M.
b) En déduire l'ensemble des points M quand A varie.
3° On pose z = x + i y et Z = X + i Y où x, y, X et Y sont réels.
a) Calculer X et Y en fonction de x et y.
b) Quel est l'ensemble des points M lorsque le point m décrit d ? c) Quel est l'ensemble des points M lorsque le point m décrit ∆ ?
d) Quel est l'ensemble des points m lorsque le point M décrit l'axe (O , →u).
Utiliser les complexes en géométrie
Dans le plan orienté, la figure ci-dessous est obtenue à partir de carrés de côté 1.
Il s'agit de calculer le rapport des longueurs r = OA et une mesure 0 de l'angle (OA, → OB).→
Les méthodes traditionnelles permettent bien sûr d'évaluer ces deux grandeurs.
(Penser notamment à l'utilisation du produit scalaire ou à la trigonométrie.)
On va voir comment utiliser les nombres complexes pour résoudre le problème posé.
Le plan est muni du repère orthonormal direct (O,→u,→v) indiqué.
Ce choix du repère facilite la lecture des affixes de A et B.
On va essayer de calculer r et θ à l'aide des nombres complexes.
1° Indiquez les affixes zA et zB de A et B .
2° A l'aide d'interprétations géométriques, prouver que r est le module du nombre complexe Z = zB
zA
et que θ en est un argument.
3° Calculez Z. En déduire les valeurs de r , cos θ et sin θ.
Conclusion: Le calcul du quotient zB zA
donne deux renseignements géométriques:
z
• l'égalité OB
OA = r où r est le module de zB zA
,
• une mesure de l'angle θ = (OA, → OB) puisque (→ OA, → OB) = arg →
zB
zA
.
B A
O v→
u→
