T spé Exercices sur le second degré (révisions)

T spé Exercices sur le second degré (révisions)

Équation et inéquation bicarrée : on peut factoriser le polynôme

Factorisation d’un polynôme de degré quelconque scindé à racines simples : alternance de + et de –.

1 Déterminer sans utiliser de formules la forme canonique des fonctions suivantes : 1°)f :x x²6x1 ; 2°)f :x4xx² ; 3°)f :xx² x 2 ; 4°)f :x3x²6x5. Vérifier en utilisant le site dcode.

2 Dans chaque cas, déterminer les racines dans du polynôme ^{f x}

 

^.

1°) ^{f x}

 

^2x2^3x¹ ; 2°) ^{f x}

 

^5x^x2 ; 3°) ^{f x}

 

 ^{8 4x2} ; 4°) ^{f x}

 

^3x^x2² ; 5°) ^{f x}

 

^x2^6x¹. Vérifier en utilisant la calculatrice (éventuellement photomaths ou dcode).

3 Résoudre dans les équations suivantes : 1°) x⁴x² 2 0

 

^{1 ; 2°) x24 x  3 0}

 

^{2 .}

Vérifier les solutions de

 

1 en utilisant la calculatrice et les solutions de

 

2 à l’aide de photomaths ou de dcode.

4 On considère l’équation ^x22



^m1



^{x2m 1 0}

 

E d’inconnue x oùm désigne un paramètre réel.

1°) Déterminer le nombre de racines de

 

E suivant les valeurs dem.

2°) Lorsque

 

E admet deux solutions distinctes, exprimer leur somme et leur produit en fonction dem.

5 Factoriser si possible le polynôme ^{f x}

 

en facteurs du premier degré.

1°) ^{f x}

 

^3x2^2x⁵ ; 2°) ^{f x}

 

 ^x2^4x³

Vérifier les factorisations à la main puis avec dcode ou photomaths.

6 Résoudre dans les inéquations suivantes :

4 2

4 3 0

x  x  

 

^{1 ; x2} ^x ²⁰

 

^{2 .}

7 Dans chaque cas, déterminer lorsque cela est possible deux réels dont la somme estS et le produitP.

1°) S4 et P3 ; 2°) S9 et P30 ; 3°) S 4 et P 21 ; 4°) S4 et P 46 ; 5°) S72 et P1296 ; 6°) S17 et P50 ; 7°) S27 et P50 ; 8°) 3

S 4 et 5 P 2

8 Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O, ,i j }



^{, on note}

^C

la courbe d’équation x²y²4x4y170. 1°) Démontrer que

C

est un cercle. Préciser son centre et son rayon.

2°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de

C

et de la droiteD d’équation x2y 3 0. 9 On considère l’équation^mx22



^m2



^{x  m 3 0}

 

E d’inconnue x oùm désigne un paramètre réel.

1°) Déterminer le nombre de solutions de

 

E suivant les valeurs dem.

2°) Lorsque

 

E admet deux solutions distincte, exprimer leur sommeS et leur produitP en fonction dem.

Déterminer une relation entreS etP indépendante dem.

10 Dans le plan muni d’un repère



^{O, ,i j }



^{, on note}

^C

la parabole d’équation yx² x 1. 1°) Déterminer les coordonnées du sommet S de

C

^.

2°) Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de

C

et de la droiteD d’équation x  y 5 0.

11 Déterminer le maximum de l’expression ^x



^3x



^{lorsquex décrit.}

12 Pour tout réelm, on note

C

_m la « courbe » d’équation ^y



^m2



^{x2mx m 1} dans le plan muni d’un repère



^{O, , i j}



(m : paramètre).

1°) Déterminer la nature de

C

_m suivant les valeurs dem.

2°) Démontrer que toutes les courbes

C

_m passent par deux points fixes A et B dont on donnera les coordonnées.

3°) Démontrer que lorsque

C

_m est une parabole, elle coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.

4°) Lorsque

C

_m est une parabole, on note S_m son sommet.

Calculer les coordonnées de S_m en fonction dem.

À l’aide de la calculatrice en mode paramétrique représenter la courbe formée par les points lorsquem décrit

 

²

privé 

 .

13 On considère la fonctionf :x x²2x3 .

Exprimer ^{f x}

 

en fonction dex sans barres de valeur absolue.

14 Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O, ,i j }



^{, on note}

^C

^m la courbe d’équation

2 2 2 4 3 0

x y  mx my  oùm est un réel quelconque.

1°) Démontrer que

C

_m est un cercle. Préciser les coordonnées de son centre _m et son rayonr_m. 2°) Quel est l’ensemble des points _m lorsquem décrit ?

Équations inéquations / bicarrées avec changement d’inconnue Solution photomaths : On distingue deux cas selon que le signe dex.

Fonctions paires / impaires

Rajouter exercices sur la valeur absolue (indispensable).

Pour résoudre un système linéaire sur calculatrice Modèle TI-83 premium CE

-on appuie sur la touche résol

-on appuie sur la touche 2 (PlySmlt2: ply=polynôme Smlt=simultaneous système) -on appuie sur la touche 2 (sol veut syst d’équation)

-le menu nous propose le nombre d’équations, nombre d’inconnues, on modifie si besoin - touche SUIVANT

- on rentre les différents coefficients à la place des zéros en appuyant à chaque fois sur la touche entrer - on appuie sur la touche graphe c’est-à-dire resol pour résoudre le système

Lyne Naccache élève de T1 année scolaire 2020-2021

Corrigé

1 Déterminer sans utiliser de formules la forme canonique des fonctions suivantes : f :x x²6x1 ; f :x4xx² ;f :x x² x 2 ;f :x3x²6x5. Vérifier en utilisant le site dcode.

1°)

 x  ^{f x}

 

^{x26x1}

 x  ^{f x}

 

^



^{x26x 9}



⁸

 x  ^f

 

^x 



^x³



²⁸ 2°)

 x  ^{f x}

 

^4xx2

 x  ^{f x}

 

^{ }



^x24x



 x  ^f

 

^{x  }_



^x2



^24_

 x  ^{f x}

 

 ⁴



^x²



²

3°)

 x  ^{f x}

 

^x2 ^{x 2}

 x 

 

^{1 2 1 2}

2 4

f x x   

 x 

 

^{1 2 7}

2 4

f x x   4°)

 x  ^{f x}

 

^{3x26x5}

 x  ^{f x}

 

^3



^x22x



^5

 x  ^{f x}

 

^3_



^x1



^{2 1}_ ⁵

 x  ^f

 

^x ³



^x¹



²⁸

2

Toutes les expressions proposées sont des polynômes du second degré.

1°) ^{f x}

 

^{2x23x1}

On calcule le discriminant  17.

 0 donc ^{f x}

 

admet deux racines distinctes réelles qui sont ₁ 3 17

x  4 et ₁ 3 17 x  4 . On effectue une vérification grâce à la calculatrice.

2°) ^{f x}

 

^5x^x2

On factorise ^{f x}

 

^{: x f x}

  

^x5x



^.

Les racines de ^{f x}

 

sont 0 et 5.

3°) ^{f x}

 

 ^{8 4x2}

On factorise ^{f x}

 

^{: x f x}

 

^{4 2}



^x2



^.

Les racines de ^{f x}

 

^{sont 2 et} ². 4°) ^{f x}

 

^{3xx22}

On constate que 1 est une racine évidente (car ^f

 

^{1 0} par calcul mental simple). On peut donc affirmer que le discriminant de ^{f x}

 

est positif ou nul et que ^{f x}

 

admet une autre racine distincte ou confondue que l’on peut trouver grâce à la formule donnant la somme ou le produit des racines d’un polynôme du second degré.

Les racines de ^{f x}

 

sont 1 (racine évidente) et 2 (racine calculée par produit).

5°) ^{f x}

 

^x2^6x¹.

On calcule le discriminant réduit  ' 8. ' 0

  donc ^{f x}

 

admet deux racines distinctes réelles qui sont x₁ 3 2 2 et x₁ 3 2 2. 3 Résoudre dans les équations suivantes :

1°) x⁴x² 2 0

 

^{1 ; 2°) x2}^{4 x}  ^{3 0}

 

^{2 .}

Vérifier les solutions de

 

1 en utilisant la calculatrice et les solutions de

 

2 à l’aide de photomaths ou de dcode.

1°) L’équation

 

1 est une équation polynomiale de degré 4 particulière appelée équation bicarrée.

L’équation

 

1 est une équation bicarrée.

On pose Xx² (changement d’inconnue).

L’équation

 

1 s’écrit : X²  X 2 0

 

^{1' .}

Les racines de

 

1' (équation du second degré) sont X₁1 (racine évidente) et X₂ 2 (racine calculée grâce au produit).

Or Xx².

On reprend l’équation

 

^{1 .}

 

^{1 Ûx21 ou x2 2} (impossible dans)

 

^{1 Ûx1 ou x 1}

Soit S₁ l’ensemble des solutions de

 

1 .

 

1 1 ; 1 S  

On effectue une vérification.

2°) Résolvons dans l’équation x²4 x  3 0

 

^{2 .}

x est la valeur absolue dex.

C’est la distance entre 0 etx.

Si x0, x x. Si x0, x  x.

1^ère méthode :

 

^{2 Û 2 4 3 0 2 '}

 

0

x x

x

   



  ou ^{2 4 3 0 2 ''}

 

0

x x

x

   



  On résout

 

^{2 ' et}

 

^{2 '' .}

Les racines de

 

^{2 '} sont 1 et 3.

Les racines de

 

2 '' sont – 1 et – 3.

Cette méthode est plus longue que la suivante qu’il vaut mieux privilégier.

2^e méthode :

On utilise un changement d’inconnue.

On pose X x .

L’équation

 

2 s’écrit : X²4X 3 0

 

^{2 ' .}

Les racines de

 

2 ' (équation du second degré) sont X₁1 et X₂3 (l’une par racine évidente, l’autre par produit).

Or X x .

On reprend l’équation

 

^{2 .}

 

^{2 Û x} ¹ ou x 3

 

^{2 Û x1 ou x 1 ou x3 ou x 3}

Soit S₂ l’ensemble des solutions de

 

^{2 .}

 

2 1 ; 1 ; 3 ; 3

S   

4 Équation avec paramètre

 

2 2 1 2 1 0

x  m x m 

 

^E

m : paramètre réel

 

E est une équation du second degré de la formeax²bx c 0 aveca1, ^b ²



^m¹



,c2m1.

On pose ^'



¹



2

b   b m .

1°) Déterminer le nombre de racines de

 

E suivant les valeurs dem.

 

E est une équation du second degré.

On calcule le discriminant réduit.

 

²

 

' m 1 1 2m 1

        (on applique la formule du discriminant réduit « en situation »)



¹

 

^{2 2 1}



' m m

    

2 1

' m 2m 2m 1

     ' m2 4m

  



⁴



' m m

  

Le signe de' se trouve facilement. Les valeurs charnières pourm sont 0 et 4.

m – 0 4 + Signe de' + 0 – 0 +

Nombre de solutions

de

 

^{E dans} 2 1 0 1 2

­ ­

racine double racine double

2°) Lorsque

 

E admet deux solutions distinctes, exprimons leur somme et leur produit en fonction dem.

 

E admet deux racines distinctes si et seulement si ^m  



^{; 0}

 

 ^{4 ;} 



. On applique les formules donnant la somme et le produit des racines.

La somme des racines vaut²



^m1



^.

Le produit des racines vaut 2m1.

5 Factorisations de polynômes du second degré

Factoriser si possible le polynôme ^{f x}

 

en facteurs du premier degré.

1°) ^{f x}

 

^3x2^2x⁵ 2°) ^{f x}

 

^{ x24x3}

Vérifier les factorisations à la main puis avec dcode ou photomaths.

Solution :

On utilise la formule de factorisation ^{a x}



^x₁



^x^x₂



prête à l’emploi dans le cas où le polynôme admet deux racines distinctes ou confondues.

1°) ^{f x}

 

^{3x22x5}

Les racines de ^{f x}

 

sont – 1 (racine évidente) et5

3 (valeur obtenue par produit des racines).

 x 

  

^{3 1}



⁵

f x  x x3

 x  ^{f x}

  

 ^x^{1 3}



^x⁵



2°) ^{f x}

 

^{ x24x3}

Les racines de ^{f x}

 

sont – 1 et – 3 (l’une évidente, l’autre obtenue par produit).

 x  ^{f x}

 

 



^x¹



^x³



6 Résolutions d’inéquations avec changements d’inconnue 1°) Résolvons dans l’inéquation x⁴4x² 3 0

 

1 . Il s’agit d’une inéquation bicarrée.

On pose Xx².

L’inéquation

 

1 s’écrit : X²4X 3 0

 

^{1' .}

Les racines du polynôme X²4X3 (polynôme du second degré) sont X₁1 et X₂3 (l’une par racine évidente, l’autre par produit).

 

^{1' Û1X3} (règle du signe d’un polynôme du second degré)

Or Xx².

On reprend l’inéquation

 

^{1 .}

 

^{1 Û1x23}

 

¹ Û 3  x 1 ou 1 x 3

Soit S₁ l’ensemble des solutions de

 

^{1 .}

1 3 ; 1 1 ; 3

S        On effectue une vérification.

2°) Résolvons dans l’inéquation x² x 20

 

^{2 .}

1^ère méthode : On distingue deux cas suivant le signe dex.

Cette méthode est assez longue et n’est donc pas recommandée.

La deuxième méthode est beaucoup plus rapide.

2^e méthode : On effectue un changement d’inconnue.

On pose X x .

L’inéquation

 

2 s’écrit : X² X 20

 

^{2 ' .}

Les racines du polynôme X² X 2 (polynôme du second degré) sont X₁1 et X₂ 2 (l’une par racine évidente, l’autre par produit).

 

^{2 ' Û X1 ou X}²

Or X x .

On reprend l’inéquation

 

^{2 .}

 

^{2 Û x 1 ou x} ² (impossible)

 

^{2 Ûx1 ou x1}

Soit S₂ l’ensemble des solutions de

 

^{2 .}

   

2 ; 1 1 ;

S       

7 Recherche de deux réels connaissant leur somme et leur produit On connaît la propriété du cours :

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²SxP. On évite d’utiliser une méthode par système.

1°) S4 et P3

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²4x3. Les réels cherchés sont 1 et 3.

2°) S9 et P30

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²9x30. Le discriminant est strictement négatif donc polynôme n’a pas de racines réelles.

Il n’existe donc pas de réels tels que S9 et P30. 3°) S 4 et P 21

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²4x21. Il y a deux méthodes :

· racine évidente : 3

· discriminant réduit : ' 25 On trouve les nombres 3 et – 7.

4°) S4 et P 46

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²4x46. On calcule le discriminant réduit : ' 50.

On trouve les nombres 2 5 2 et 2 5 2 . 5°) S72 et P1296

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²72x1296. On calcule le discriminant réduit : ' 0.

On a donc une racine double : 36.

On trouve les nombres 36 et 36.

6°) S17 et P50

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²17x50. On calcule le discriminant : 89.

On trouve les nombres 17 89 2

 et17 89 2

 .

7°) S27 etP50

Dans ce cas, il n’y a pas besoin de recourir au polynôme. Les nombres cherchés apparaissent de manière évidente (sautent aux yeux) : il s’agit des nombres 2 et 25.

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme x²27x50. Il y a deux méthodes :

· racine évidente : 2

· discriminant : 529 On trouve les nombres 2 et 25.

8°) 3

S 4 et 5 P 2

Les réels cherchés, s’ils existent, sont les racines du polynôme ² 3 5

4 2

x  x . Il y a deux méthodes :

· racine évidente : – 2

· discriminant : 169

  16

On trouve les nombres – 2 et 5 4.

8

plan muni d’un repère orthonormé



^{O, , i j}



C

^:x2^y2^4x^4y¹⁷⁰

1°) Démontrer que

C

est un cercle. Préciser son centre et son rayon.

Soit M un point quelconque du plan de coordonnées



^{x y;}



^.

M

C

Û x²y²4x4y170 M

C

Û



^x2



^{2 4}



^y2



^{2 4 170}

M

C

Û



^x2

 

^{2 y2}



^225 [ou



^{x }

 

²



^2



^{y }

 

²



^225]

La dernière égalité obtenue permet d’affirmer que

C

est le cercle de centre



^{2 ;2}



et de rayon 5.

2°) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de

C

et de la droiteD d’équation x2y 3 0.

Les couples de coordonnées des points de

C

^{et de}D sont les solutions du système

2 2 4 4 17 0

2 3 0

x y x y

x y

     

   

 .

Ce système n’est pas linéaire. On le résout par substitution.

Version plus courte (raccourci qui évite le système) : D a pour équation x2y3.

Les ordonnées des points d’intersection de

C

^etD sont les solutions de l’équation



^2y3



^{2y24 2}



^{y 3}



^4y170

 

^{1 .}

Cette équation s’appelle l’équation aux ordonnées des points d’intersection de

C

^etD.

 

^{1 Û4y212y 9 y28y124y170}

 

¹ Û5y²200

 

^{1 Û y2}⁴

 

¹ Û y2 ou y 2

Les points d’intersection de

C

^{etD sont I}

 

^{1; 2 et J}



^{7 ;2}



^.

On calcule les abscisses de ces points grâce à l’équation deD (x2y3).

On peut vérifier sur un graphique (par exemple, sur Geogebra).

9 Équation avec paramètre

 

2 2 2 3 0

mx  m x  m

 

^E

m : paramètre réel

L’équation

 

E peut aussi s’écrire^{mx22x m}



^{   2}



^{m 3 0.}

1°) Déterminons le nombre de solutions de

 

^E suivant les valeurs dem.

On regarde si

 

E est une équation du second degré.

1^er cas :m0

Dans ce cas,

 

E est bien une équation du second degré.

Calculons son discriminant réduit.

 

²

 

' m 2 m m 3

       (on applique la formule du discriminant « en situation »)



²



^{2 2 3}

' m m  m

 ' m2

  4m 4 m² 3m 4

' m

  

Le signe de' se trouve facilement. La valeur charnière pourm est 4.

2^e cas :m0

Dans ce cas,

 

^{E s’écrit 4x 3 0.}

 

^{E admet 3}

4 pour unique solution.

m – 0 4 + Signe de' + + 0 –

Nombre de solutions

de

 

^{E dans} 2 1 2 1 0 2°) Lorsque

 

E admet deux solutions distinctes, exprimons leur somme et leur produit en fonction dem.

 

E admet deux solutions distinctes si et seulement si^m  



^{; 0}

  

 ^{0 ; 4} .

On applique les formules donnant la somme et le produit des racines d’une équation du second degré.

 

2 m 2

S m

 

 

 

2 2

S m

m

 

2 4

S m

m

 

3 P m

m

 

Déterminons une relation entreS etP indépendante dem.

Il n’y a pas de formule particulière pour résoudre cette question.

On essaie d’éliminer le paramètrem entre les deux égalités (« procédé d’élimination du paramètre m entre deux égalités »).

On écrit pour cela 4 2

S m et 3 1 P m.

On va former une combinaison linéaire de S et P qui va éliminer les m (il faut réfléchir un peu).

Une telle technique s’utilise assez fréquemment en arithmétique.

On a 4 3

3S 4P 3 2 4 1 2

m m

   

        .

« La » (plutôt « une ») relation entre S et P indépendante de m est 3S4P2.

10

C

^{: y}^x2 ^{x 1}

1°) On sait que le sommet d’une parabole d’équation yax²bx c  (a étant non nul) a pour abscisse 2

b

 a.

S

 

S

2 2

S S S

1 2

1 1 3

1 1 car S

2 2 4

x

y x x

 

 

         

C

N.-B. : La tangente à

C

en S est horizontale.

2°)

On peut utiliser un système de deux équations à deux inconnues.

On peut utiliser dcode.

D a pour équation réduite y 5 x.

Les abscisses des points d’intersection de

C

^{et de}D sont les solutions de l’équation x²   x 1 5 x

 

^{1 .}

 

¹ Û x²2x 4 0 ( ' 5, on peut utiliser la calculatrice)

 

¹ Û x  1 5 oux  1 5

Les points d’intersection de

C

^etD ont pour coordonnées



^{ 1 5 ; 6 5}



^et



^{ 1 5 ; 6 5}



^.

On a calculé les ordonnées des points à l’aide de l’équation réduite deD (plus simple que d’utiliser l’équation de

C

^).

On vérifie en utilisant une calculatrice graphique ou en utilisant un logiciel de tracé de courbes sur ordinateur.

Calculatrice Numworks :

On peut tracer

C

^etD sur la calculatrice. On adapte la fenêtre graphique.

- aller sur fonctions.

- taper les deux fonctions.

- aller sur « graphique » puis appuyer directement sur « ok ».

- aller sur « calcul » puis sur « intersection » (idem maximum et minimum).

La calculatrice permet de contrôler les résultats grâce aux valeurs approchées (commande d’intersection).

11

On considère la fonctionf :x^x



^3x



^.

 x  ^{f x}

 

^3x^x2

f est une fonction polynôme du second degré.

Le coefficient de x² est – 1.

Comme il est négatif, on sait, d’après le cours (propriétés sur maximum ou minimum d’une fonction polynôme du second degré), quef admet un maximum global sur atteint en

 

^{3 3}

2 1 2

x  

  (application directe du cours).

On calcule 3 3 3 3 3 9

2 2 3 2 2 2 4

f         .

Conclusion : Le produit ^x



^3x



est maximal lorsque 3

x2 et le maximum vaut 9 4.

Commentaires :

On ne met pas sous forme canonique (perte de temps).

On peut dresser le tableau de variations def.

On peut éventuellement utiliser la dérivée.

Parmi les rectangles de périmètre donné, quels sont ceux qui ont la plus grande aire ?

Propriété : Parmi les rectangles de périmètre donné, ceux qui ont la plus grande aire quels sont les carrés.

12

C

m ^{: y}



^m2



^{x2mx m 1} (m : paramètre) 1°) Déterminons la nature de

C

_m suivant les valeurs dem.

On effectue une discussion suivant les valeurs de m (on discute suivant les valeurs de m) c’est-à-dire que l’on distingue plusieurs cas suivant les valeurs de m.

· Si m 2, alors

C

_m est une parabole.

· Si m 2, alors

C

_2 a pour équation y 2x3.

C

_2 est donc une droite.

2°) Démontrer que toutes les courbes

C

_m passent par deux points fixes A et B dont on donnera les coordonnées.

On peut tracer plusieurs courbes

C

_m sur l’écran de la calculatrice.

On peut éventuellement utiliserGeogebra en créant un curseur.

On pose Pm

  

x  m²



x²mx m ¹.

 x  Pm

 

x m x



²  x ¹



²x²¹

Le polynôme x² x 1 admet deux racines dans : ₁ 1 5 x  2

 et ₂ 1 5

x  2

 .

 

1



1² 1 1



2 1² 1 0 2 1² 1 2 1² 1 5 2 5

Pm x m x   x x    m x   x    (on peut faire le calcul) De même, P_m

 

x2 2x2²  1 3 2 5 (on peut faire le calcul).

Ainsi, toutes les courbes

C

_m passent par les points A



^{x1; 5 2 5}



^{et B}



^{x2; 3 2 5}



^.

3°) Déterminer l’ensemble des réels m tels que

C

_m coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.

  

2 2 1

m m m

     

  

2 2 1

m m m

    2m2 m 2



  

 est un polynôme du second degré enm.

On va calculer le discriminant du polynôme2m² m 2. 4°) Pour tout réelm, on note S_m le sommet de

C

_m^.

Calculer les coordonnées de S_m en fonction dem.

On applique les formules donnant les coordonnées du sommet d’une parabole ;

2 4

b

a a

   

 

  (notations du cours, on applique évidemment la formule en situation).

S_m a pour coordonnées

   

2 2 2

2 2 ; 4 2

m m m

m m

    

 

   

 .

13

f :x x²2x3

Exprimons ^{f x}

 

en fonction dex sans barres de valeur absolue.

On va étudier le signe du polynôme ^{P x}

 

^{x22x3.}

Les racines du polynôme P x

 

sont – 1 (racine évidente) et 3.

Le signe de ^{P x}

 

s’obtient par la règle du signe d’un polynôme du second degré.

x – – 1 3 + Signe de ^{P x}

 

+ 0 – 0 +

 

f x x²2x3 0 ^



^x22x3



^{0 x22x3}

· Si ^{x   }



^{; 1}

 

^{ 3 ; }



^{, alors f x}

 

^x2^2x³.

· Si x 



^{1 ; 3}



, alors ^{f x}

 

^{ }



^x22x3



^.

Idée possible mais pas satisfaisante :

 x  ^_^{f x}

 

^_^{2x44x32x212x9} (formule de développement d’une somme)

 x  ^_^{f x}

 

^_^{2 x44x32x212x9}

C’est possible mais pas du tout intéressant dans notre situation.

14

Dans le plan muni d’un repère orthonormé



^{O, , i j}



^{, on note}

^C

^m la courbe d’équation x²y²2mx4my 3 0 oùm est un réel quelconque.

Il s’agit d’une famille de courbes (dont on va démontrer que ce sont des cercles) dépendant d’un paramètrem.

1°) Démontrer que

C

_m est un cercle. Préciser les coordonnées de son centre_m et son rayon r_m. Soit M un point quelconque du plan de coordonnées



^{x y;}



^.

M

C

_m Ûx²y²2mx4my 3 0

MS Û



^x22mx

 

^{ y24my}



^{ 3 0} (mise sous forme canonique des trinômes du second degré enx ety) MS Û



xm



²m²



y2m



²4m² 3 0

MS Û



^xm

 

^{2 y2m}



^{25m2 3 0}

MS Û



xm

 

² y2m



²5m²3

Pour tout réelm, 5m² 3 0 donc pour tout réelm,

C

_m est le cercle de centre_m



^{m; 2m}



et de rayon 5m²3.

Propriété :

Soita,b,k trois réels.

On note

C

l’ensemble des points des points M de coordonnées



x y;



tels que .



xa

 

² yb



²k dans le plan muni d’un repère.

La nature de

C

dépend du signe dek.

On effectue une discussion.

· Si k0, alors

C

est le cercle de centre



a b;



et de rayon k.

· Si k0, alors

C

est le singleton

 

^{ avec}



^{a b;}



^.

· Si k0, alors

C

est l’ensemble vide.

2°) Quel est l’ensemble des points _m lorsquem décrit ?

D’après la question précédente,

2

m

m

x m

y m





 

 

 .

1^ère méthode :

On reconnaît une représentation paramétrique de droite.

On peut donc dire que l’ensemble des points _m lorsquem décrit est la droiteD de repère

 

^O,u (le point O est l’origine du repère ; c’est le point obtenu pour m0] etu



^{1 ; 2}



 2^e méthode :

On observe immédiatement que 2

m m

y_  x_ .

m appartient donc à la droiteD d’équation y2x. Comme

x_mm, lorsquem décrit,

x_m décrit.

On peut donc dire que l’ensemble des points _m lorsquem décrit est la droiteD toute entière.

Système d’équations paramétriques d’une droite dans le plan

Le plan est muni d’un repère



^{O, ,i j }



^.

1°) Démonstration

Hypothèses :A



xA;yA



est un point du plan.

u



 ;



est un vecteur non nul du plan.

D est la droite passant par A et de vecteur directeuru .

D

O i^ j

A u

M

Soit M



^{x y;}



un point quelconque du plan.

MDÛAM

etu

sont colinéaires MDÛ / AM u MDÛ / ^{M A}

M A

u u

x x x

y y y

  

   







MDÛ / ^A

A

x x y y

  

   

 MDÛ / ^A

A

x x y y

  

  

 2°) Définition

Le système ^A

A

x x y y

  

   

 ( ) est appelé unsystème d’équations paramétriques de la droiteD passant par le pointA



xA;yA



et de vecteur directeur u





^{ ;}



^; est appelé leparamètre.

Un point M



^{x y;}



du plan appartient à la droiteD si, et seulement si, il existe un réel tel que les coordonnéesxet y de M vérifient le système. Dans ce cas, est le réel tel que AM u

.

3°) Exemples

 Exemple 1 A 1

3

B 5

2 AB 4

5



Un système d’équations paramétriques de la droite (AB) s’écrit 1 4 3 5 x y

  

   

 ( ).

On ne cherche pas la valeur de !

Un autre système d’équations paramétriques de la droite (AB) s’écrit 5 4 2 5

x '

y '

  

    

 ( ' ).

Pour déterminer une équation cartésienne de (AB), on élimine le paramètre entre les deux équations (comme en physique). Voir exemple 2 (on isolé le paramètre et on injecte dans l’autre équation / on effectue une combinaison linéaire en multipliant la première équation par 5 et la deuxième équation par 5 puis on additionne membre à membre).

Si l’on restreint l’ensemble des valeurs de (AB), on obtient une partie de la droite (AB).

Par exemple,

pour ^{ }

 

^{0 ; 1}, on obtient le segment

 

^{AB ;}

pour ^{ }



^{0 ; }



, on obtient la demi-droite



^{AB .}



 Exemple 2

On considère la droiteD définie par le système d’équations paramétriques 1 2 3 x y

   

   

 ( ).

Définir la droiteD par un point et un vecteur directeur et tracerD.

Déterminer une équation cartésienne deD.

D est la droite passant par le point A



– 1 ; 3 et de vecteur directeur



u (2 ; 1).

Pour tracerD, on place le point A et on construit le vecteuru2 ij . D

O 3

i j

A u

On peut noter que le point A correspond au paramètre 0.

Pour déterminer une équation cartésienne de D, on élimine le paramètre entre les deux équations (comme en physique).

1^ère méthode :

 

 

1 2

1 2 L 3 L x

y

    



  



On isole dans l’une des équations paramétriques et on injecte dans l’autre équation.

 

L2 donne   y 3.

On reporte dans

 

L :1 x  1 2y6.

Une équation cartésienne deD s’écrit x2y 7 0. 2^e méthode :

 

 

1 2

1 2 L 3 L x

y

    



  



On effectue une combinaison linéaire entre les deux équations de sorte que le paramètre disparaisse.

On multiplie la première équation par 1 et la deuxième par – 2.

4°) Utilisation de la calculatrice graphique

Pour tracer une droite donnée sous la forme d’un système d’équations paramétriques, on se place en « mode paramétrique ».

TI : Dans mode, on sélectionne « par ».

On appuie sur la touche Y.

DansX_1T, on tape la première équation paramétrique ; dansY_1T, on tape la deuxième équation paramétrique.

On précise la fenêtre en faisant varier T dans un intervalle assez grand.

Écrire une équation paramétrique sur calculatrice : mode

4^e ligne par

 

f x Exemple :

On désire tracer la droite admettant pour système d’équations paramétriques 1 2 3 x y

   

  





^{ }



^.

X1T  1 2T Y1T 3 T

On obtient T en appuyant sur la touche X,T,,n .

On peut obtenir un tableau de valeurs pour différentes valeurs du paramètre et le tracé de la droite.

5°) Obtention de points

Considérons la droiteD définie par le système d’équations paramétriques 1 2 3 x y

  

   





 



.

 0 1

3 x y

 

  

 Le point de coordonnées (1 ; – 3) appartient àD.

 1 3

2 x y

 

  

 Le point de coordonnées (3 ; – 2) appartient àD.

 3 7

0 x y



 

 Le point de coordonnées (7 ; 0) appartient àD.

  1 1

4 x y

 

  

 Le point de coordonnées (– 1 ; – 4) appartient àD.

O

D

M₀

M₁

M₃

6°) Comment passer d’une équation de droite à un système d’équations paramétriques Exemple :

On noteD la droite d’équation 2x  y 3 0. On isolex ouy.

En isolanty, on obtient y 2x3. On peut écrire

2 3

x x

y x

 

   

 ou encore

2 3

x t

y t

 

   

 .

i



M_1

j



D a pour système d’équations paramétriques

2 3

x t

y t

 

   





^t



. En isolantx, on obtient 3

2 x y .

On peut écrire

3 2 x y y y

  



 

ou encore

3 2 x t y t

  



  .

D a pour système d’équations paramétriques

3 2 x t y t

  



 



^t



^.

On retiendra quex ety peuvent faire office de paramètres.

Le 16 septembre 2021 geos metron : géométrie mesure de la terre

Polynômes du second degré (révisions)

I. Forme canonique d’un polynôme du second degré f :xax²bxc (a,b,c sont trois réels tels quea0) 1°) Exemples



^{f :x} x²2x3

 x  ^{f x}

 

^



^{x22x  1}



^{1 3}

 x  ^f

 

^x 



^x¹



²²



^{f :x}2x²4x1

 x  ^{f x}

 

^2



^x22x



^1

 x  ^{f x}

 

^2_



^x1



^{2 1}_ ¹

 x  ^f

 

^x ²



^x¹



²¹

On peut vérifier en utilisant le site dcode.

2°) Forme canonique dans le cas général

f :xax²bx c (a,b,c sont trois réels tels quea0)

 x  ^{f x}

 

^{a x}



    avec



²

2 b

   a et ^f

 

 Application : maximum et minimum

La forme canonique permet de « lire » le maximum ou le minimum def.

 Sia0, alorsf admet unminimum global (ou absolu) sur atteint en.

 Sia0, alorsf admet unmaximum global (ou absolu) sur atteint en.

Dans les deux cas, cet extremum est égal à.

On retiendra que la forme canonique permet de lire le maximum ou le minimum d’une fonction polynôme du second degré.

Cette propriété sera revue plus loin avec les variations d’une fonction polynôme du second degré.

3°) Discriminant Définition :

On appellediscriminant du polynôme le réel b²4ac.

La forme canonique de ^{f x}

 

^{s’écrit x }

 

²

2 4

f x a x b

a a

  

     . II. Racines et factorisation

1°) Définition

Les solutions de l’équation f x

 

0 sont appelées lesracines (ou leszéros) du polynôme f x

 

.

On veillera à bien faire la différence entre le polynôme f x

 

et l’équation f x

 

0. 2°) Exemple

f :x x²3x4

1 est une racine évidente de ^{f x}

 

^.

Vérifier en utilisant le site dcode.

3°) Propriété (racines et factorisation éventuelle) f :xax²bx c (a,b,c sont trois réels tels quea0) On pose b²4ac.

On s’intéresse aux racines de ^{f x}

 

^dans.

Il y a 3 cas selon le signe de.

1^er cas :  0 Le polynôme admet 2 racines distinctes dans : ₁ 2 x b

a

  

 et ₂

2 x b

a

  

 .

De plus, x f x

 

a x



x1



xx2



.

2^e cas :  0 Le polynôme admet 1 racine double dans : ₀ 2 x b

  a. De plus, x f x

 

a x



x0



².

3^e cas :  0 Le polynôme n’admet aucune racine dans.

Dans ce cas, il n’existe pas de factorisation de ^{f x}

 

en produit de facteurs du premier degré.

On peut retenir les équivalences fondamentales suivantes pour l’équation ax²bx c 0

 

^{E .}

 

E admet deux racines réellesÛ 0

 

E admet une seule racine réelleÛ  0

 

E n’admet aucune racine réelleÛ 0

 et racines : On applique les formules en situation.

4°) Condition nécessaire à connaître

Siac0, alors

 

E admet 2 racines distinctes dans puisque le discriminant est strictement positif de manière évidente.

III. Discriminant réduit

f :xax²bx c (a,b,c sont trois réels tels quea0) On pose '

2

b b de sorte queb2 'b . On a alors ^{f x}

 

^{ax22 'b x c .}

On pose  ' b'²ac (de sorte que  4 ').

1^er cas :  ' 0 Le polynôme admet 2 racines distinctes dans : ₁ b' '

x a

  

 et ₂ b' '

x a

  

 .

2^e cas :  ' 0 Le polynôme admet 1 racine double dans : ₀ b' x  a. 3^e cas :  ' 0 Le polynôme n’admet aucune racine dans.

Le discriminant réduit intervient quandb est pair.

Exemple d’utilisation du discriminant réduit :

Déterminer les racines réelles du polynôme ^{P x}

 

^{x22x1.}

Les zéros ou les racines du polynôme sont x₁ 1 2 et x₂ 1 2 (déterminées à l’aide du discriminant réduit).

On vérifie à l’aide de la calculatrice.

Utilisation :

Sib est pair, on calcule'. Sib est impair, on calcule.

Méthode générale de résolution d’une équation du second degré :

- On regarde d’abord si on peut la mettre sous la forme d’une équation produit nul (identité remarquable, factorisation, cas particuliers).

- Sinon, on écrit l’équation sous la forme ax²bx c 0 (a0) et on cherche des racines évidentes (1, - 1, 2, -2 etc.).

- En dehors de ces deux cas, on calcule le discriminant ou le discriminant réduit. On applique ensuite les formules prêtes à l’emploi.

IV. Somme et produit des racines

 

²

f x ax bx c (a0) On suppose que0.

Le polynôme ^{f x}

 

admet deux racines x₁ et x₂ distinctes ou confondues dans.

On a : _{1 2} b

x x

  a et _{1 2} c x x a.

Les applications de ces formules sont assez nombreuses : - recherche de racines évidentes

- recherche de l’autre racine quand on connaît déjà une racine - signe des racines sans les « calculer ».

On notera que 1 est racine évidente de ^{f x}

 

si et seulement sia  b c 0 c’est-à-dire si et seulement si la somme des coefficients est nulle.

Cette propriété reste valable pour un polynôme de degré quelconque.

V. Signe d’un polynôme du second degré 1^er cas :  0

x – x₁ x₂ +

SGN de ^{f x}

 

Signe dea 0 Signe contraire de a 0 Signe de a 2^e cas :  0

 x 

 

²

2 f x a x b

a

 

   

x –

2 b

 a +

 

f x Signe de a 0 Signe de a

2^e cas :  0

x – +

 

f x Signe de a

VI. Équations et inéquations avec changement d’inconnue (écrit le 3-12-2020) On se ramène à des équations ou à des inéquations du second degré.

3cos2xcosx 2 0

2 3

1 0

1 1

x x

x x

    

   

 

On peut mettre des valeurs absolues.

VII. Recherche de deux réels connaissant la somme et le produit

On cherche deux réels dont la somme vautS et le produit vautP.

Les deux réels, s’ils existent, sont les zéros / racines du polynôme x²SxP. VIII. Variations d’une fonction polynôme du second degré

f :xax²bx c (a,b,c sont trois réels tels quea0) On reprend les notations

2 b

   a et^{ f}

 

^ (on a aussi 4a

    ). On rappelle que la forme canonique s’écrit

   

²

f x a x   .

Variations 2 cas

0 a

x –  + Variations

def 

0 a

x –  +

Variations def



Les variations peuvent s’obtenir directement de manière assez simple à l’aide de la forme canonique ou à l’aide de la dérivation.

Conséquence :

On retrouve la propriété de l’extremum d’une fonction polynôme du second degré mentionnée lors de l’étude de la forme canonique.