• Aucun résultat trouvé

D337. A touche-touche sur une sphère

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "D337. A touche-touche sur une sphère"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

D337. A touche-touche sur une sphère

Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin

Sur une sphère de rayon 1, on a tracé quatre cercles tangents deux à deux. Etablir la relation qui lie leurs rayons.

Aperçu historique rédigé par Claudio Baiocchi

On va d'abord faire un rappel sur le problème dans le plan où le Théorème de Descartes fournit une relation entre les courbures (à savoir les réciproques des rayons) des cercles:

Figure 1

En général à tout triplet de cercles tangents extérieurement (cercles en gris dans la Figure 1) on peut associer deux cercles qui touchent chaque élément du triplet; si

sont les rayons des trois cercles du triplet, l’existence de deux solution est à prévoir, l’équation étant de deuxième degré en .

En résolvant par exemple par rapport à , on parvient à l’expression:

dans laquelle peut prendre une valeur négative.

A noter que la démonstration de la relation faite par Descartes dans une lettre écrite en 1643 à son élève Elisabeth de Bohème est plutôt sommaire et concerne uniquement les cercles «de type vert», tangents extérieurement aux trois cercles gris.

(2)

C’est seulement deux siècles plus tard que Steiner, et ensuite Beecroft, donnèrent une démonstration rigoureuse relative à tous les cas possibles: il suffit de définir la courbure d’un cercle de rayon par , une valeur négative dénotant une tangence intérieure. Avec cette convention les formules et restent valables aussi dans les cas limites, quitte à identifier les droites à cercles de rayon infini (donc courbure nulle), la tangence entre droites correspondant au parallélisme:

Figure 2

En 1936 Soddy reprit le résultat et lui dédia une petite rime “The kiss precise”,suivi par Gosset qui donna une généralisation au cas de sphères dans un espace euclidien de dimension et rajouta une strophe à la rime de Soddy.

Puissance de la poésie, le résultat parvint à l’attention du grand public, de telle sorte que est aujourd’hui connue comme formule de Soddy, ou de Gosset-Soddy; et les travaux sur le sujet ont continué et sont encore en cours.

C'est dans notre siècle qu'a été obtenue par Lagarias, Mallows and Wilks (format pdf et format ps) une extension au cas des géométries non-euclidiennes.Par exemple dans le cas qui nous intéresse on a la formule:

où est la dimension de l’espace ( pour les sphères de ) et chaque est le demi-angle au sommet du cône de sommet le centre de la sphère et de base le cercle .Ici encore on doit distinguer deux cas, suivant qu’il existe ou non un cône dont le prolongement contient tous les autres; c’est pour ce cône éventuel que la valeur de la cotangente doit être changée de signe.

(3)

Remarque La formule vaut indépendamment du rayon de la sphère; on remarquera qu’en termes métriques la liaison entre le rayon d’un cercle et le correspondant angle est .En particulier, question de signe mise à part,

on a .

En particulier, divisant par , la formule peut être réécrite sous la forme:

.

et, à la limite pour , la sphère dégénère dans un (hyper)plan et on retrouve la formule de Descartes.

Références

Documents relatifs

Les deux cercles bissecteurs de deux cercles sont réels, si ceux-ci se coupent en deux points réels; dans le cas où les points de rencontre de deux cercles sont imaginaires, l'un

Note sur le lieu du point de contact de deux cercles mobiles qui doivent être tangents chacun à deux cercles fixes.. Nouvelles annales de mathématiques 2 e série, tome 11

Les perpendiculaires abaissées des cen- tres des cercles extérieurs sur les côtés du triangle qu'ils touchent, se coupent en un même point également éloigné de ces trois centres-,

Étant donné un petit cercle sur une sphère, si de son pôle on décrit un second cercle ayant pour distance polaire le complément de la distance polaire du premier, et que, par le

Il est évident qu'on ne change pas les vo- lumes des pyramides, en faisant mouvoir les plans XY,YZ,XZ, parallèlement à eux-mêmes ; on peut donc supposer qu'ils passent tous les

Joignons FE, et menons FH parallèle à BC, nous pourrons construire le triangle rectangle FEH, dans lequel nous connais- sons l'hypoténuse et F H = G C : d'où résulte la

Remarque : on aurait abouti au même résultat en raisonnant avec le

La résolution de cette question devient très simple dès lors que le cercle de rayon R=6 a la double propriété d’être le plus petit cercle contenant trois cercles de rayons