D10584. À touche-touche
Soit le triangleABC,Ole centre du cercle circonscrit. Un cercle Γ, passant parA et centré sur la hauteur abaissée deA, coupeABetAC en P etQ.
On suppose que BP.CQ=AP.AQ.
Montrer que le cercle circonscrit au triangleBOC est tangent à Γ.
Solution
Dans les cercles Γ et (BOC), les diamètres perpendiculaires à BC sont AN etOM. Γ est le transformé de (BOC) par une homothétie de rapport
−r =−|AN|/|OM|, dont le centre est l’intersectionL=AM∩ON. Ainsi M L=M A/(1 +r),OL=ON/(1 +r).
Les deux cercles sont tangents enLquandLest leur point commun, carL appartient aussi à la droite joignant les centres. AlorsM L2+OL2 =OM2, d’où M A2+ON2= (1 +r)2.OM2= (|AN|+|OM|)2.
C’est la condition de contact, qu’il reste à relier à la relation de l’énoncé.
|OM|=R/cosA.M AetON ont même projectionRsin(C−B) surBC; leurs projections sur M O sont respectivementRcos(B−C) +R/cosA et Rcos(B−C)− |AN|. La condition de contact est ainsi
|AN|(1 + cosAcos(B −C)) = R(cosA+ cos(B −C)) = 2RsinBsinC, distance de A àBC.
Mais 1 + cosAcos(B−C) = sin2B+ sin2C,|AN|sinB=AP,
|AN|sinC =AQ, la condition est donc
APsinB +AQsinC = 2RsinBsinC. C’est la projection sur AN du vecteur somme AP + AQ, et le parallélogramme P AQS a son som- met S sur BC. En coordonnées obliques d’axes (AB, AC), l’équation de BC est AP/AB +AQ/AC = 1, qui équivaut à la relation donnée (AB−AP)(AC−AQ) =AP.AQ.
Autre solution
Soit K le point où AM recoupe (BOC). O est milieu d’un arc BC de (BOC), M aussi. Ainsi KM est bissectrice de (KB, KC) et comme (KB, KC) = (OB, OC) = 2(AB, AC),
(KB, KM) = (KM, KC) = (AB, AC).
Puis (BK, BA) = (KB, KM) − (AB, AK) = (AK, AC), de même (CA, CK) = (AB, AK) et les triangles KBA et KAC sont semblables dans une similitude de centreK.
L’égalité BP/AP =AQ/CQ montre que la même similitude fait corres- pondre les trianglesKP Aet KQC.
(KA, KP) = (KC, KQ) = π −(KQ, KA), donc A, K, P, Q sont cocy- cliques et K est un point commun à Γ et (BOC). Si S et T sont les milieux deAN etOM, les triangles isocèlesASK etM T K montrent que les rayons SK et KT des deux cercles sont alignés, le point commun K est donc point de contact.
