Exercices à savoir résoudre pour entrer en 4

(1)

Exercices à savoir résoudre pour entrer en 4

^ème

G.

Les puissances à exposants entiers.

1. Utilise les propriétés des puissances pour simplifier les expressions suivantes : a)



³^a^³^b⁴

 

³^.^²^a^²^b



² ^

b)

 

z y x

1 7 4

2 3 3

2 4



 

 =

c)  



 



  ^



 2

3 8 4

2 5 6

81 156

c b a

2. Ecris en notation scientifique : a) 8502500 =

b) 0,00476 = c) 351,28 =

3. Calcule en utilisant la notation scientifique : a) 2000⁴ 

b)



5000².0,001^³



²  c)

 



^



^

 2 2 5 2 3

25 . 200

5000 . 40

Les produits remarquables.

1.

Effectue les produits remarquables :

(x+y)² = (a+5)² =

(3b+2c)² = (x+4y)² =

(6b+5a)² = (a³+2b)² =

(2ab+3a²)² = (x²+3y³)² =

(7a⁴+5b)² = (6a³c+b⁵)² =

 



 

  ² 3 b 2

a ^ ^



 



 

2

3 y 10 5

x

2

 



 



 

2

4 b 7 7

a

4 _ ^







 

2

y 12 8

x

 



 

 a ² a

1 (2x+3y³)² =

(x-3)(x+3) = (a+1)(a-1) =

(3a-2)(3a+2) = (-5x+2)(5x+2) =

(a²+5)(-5+a²) = (x³-7y)(x³+7y) =

(a³b²-x)(x+a³b²)= (x⁴y⁵+1)(x⁴y⁵-1)=

(2)

(x-5)(-x-5)=  



 

 



 

  x 3 x 1 3 1

 



 

 



 

 

5 x 2 a 5 x 2

a _ _



 

 



 



 

4 3 b 4 3 b 2. Effectue puis réduis les termes semblables : (a+2)(a-2)(a²+4) =

(x²-1)(x²+1)(x⁴-1) =

(x+1)² - (3-4x)² + (2+3x)(2-3x) = (-3-2x)² - (x+3)(x-3) – (-2x+4)² = x(x²-x+1) – (-x-1)(x+1) =

(-x-2)² + (-x-3)(3-x) – (5-3x)² = Les nombres réels.

1. Utilise la calculatrice pour :

- arrondir 271 au 0, 01 près - arrondir 956 à 10^²près

2. Simplifie les radicaux suivants, rends rationnel le dénominateur si nécessaire :

252 50

225 32

4

5

18

 216

3. Effectue :

 

  

 



^^



^^ ^

























2 8 6 . 2 8 6

5 3 2 5

3 44

24 2 2 . 18 6

15 125 . 5 2

27 4 2 75 2 32 5

2 2

La factorisation.





 

































x y a y x y

x b a

x x

by ay bx ax

y x

. 3 .

5 .

5 10 5

3 3

2 4

2 2

(3)

 

   

       













 

 



























































































1 3 3 1 . 8 1 3 . 16

9 15 7

9 3 6

16 8

11 12 . 2 3 2 4 . 3 2

3 5 . 16 3 5 . 9

1 2 3 4

4 12

9

20 3 2

6 4 24

2 2

1 2 2

2 2 3

2 3 2

4 5

6 4 5

2 2

3 2 2 3

2 2 2 2 3

3 2

2 2

2 3

3 6

2 2

x x x

x x

x

y x xy y x

x x

x

x y x

x x y x

y x

x x

x

x x

y x y x y x

by bx ay ax

x x

x

b a b a

x x

a b a

Les équations.

   

3 2

5 2 2

5 2 5

2 3

10 2 4 5

5 2 2 1

4 5 3

3 2 5

2

4 . 3 2

1 8

0 5

3 5 2

2 6 15 7

2 2 2

 











 

 

 

 



 





















x x

x

x x

x

x x x x

x x

x x x

x x

 

   

       

0 1

0 9 24 16

0 3 2

0 1 5 . 4 5 5 4 . 2 3

5 2 2 3

50 72

0 7

0 5 . 3 4

. 1 1 2

2 3

2 2 3

2 2







































 



 



 



x x x

x x

x x x

x x

x

Les inéquations.

Résous les inéquations suivantes, représente l’ensemble solutions sur un axe et sous forme d’intervalle :

(4)

   

3 5 2 2

2 7 3

8 7

2 2 5

4 4

3

3 8 7 9 2

6 4 5

5 2 7 10

5

3 1 2

1

 

 



 



 



 



 





x x

x

x x

x

x x

x





Les fractions rationnelles.

1. Simplifie les fractions ( n’oublie pas les CE) :

1 4

15 30

3

1 3

3

6 2

6 5

27 3

9 4 4

2 1

4 3

3 2 3 2

2 3 2













x x x

x x

x x x

a a a

2. Opérations sur les fractions :- Somme et différence

 

 





 

 

 



 

 

 

 

 

 



2 2 2 2

2 2 2

2 2

4 3 4

4

4 4 3 3 12 7

2

3 3 9

7

1 2 5 1

y x

x y

xy x

y x

x x

a b

b b a

a b

b a

b b

a a

x x x

x

- Produit et quotient

 

9 9 6

2 6

3 14

56 . 5

. 15 3 6

2 2

8 2 2

5 9 8







x x x

y xy

xy x

c b a

c b b

c b a bx ax

 

 

 

 



 

 













2 2

2

5 2

4 2

3 4 2

2 1 2 5 3

2 5 3 2

b ab ab a

x x x

x b

b a b

b a

a y a

x x x x

(5)











 



 



 



 

 





2 2

2 3

2 4 2

3

2

2 1 1 1 1 1

1 1

y xy x

y x

a a a

a

a y a a a

ay a

Les fonctions de référence.

Associe à chaque graphique sa fonction :

 

x x f

1 1 2

3

2 2

1







   

 

^x ^x

f x f

x x f







6 5 4

3 3

Les fonctions du 1 degré.^er

a)Pour chaque fonction : - caractérise-la ;

- donne la valeur du coefficient de direction et de l’ordonnée à l’origine ; - construis la droite qui lui correspond.

b) Pour chacune des fonctions, détermine : - la ou les racines ; - f(1) ;

- sur le graphique f( ) = 3.

- .

 

 

 

 



 

 

8 2

15 5

16

4 4 5

4

5 3 3 2 2

8

2

2 2 2

x x

x x x x x

y x y x

(6)

 

^x ^x

f

x x f

2 7

2 1 3 2

3 2 1











   

 

4

5 3

3 6

6 5 4

 









x f

x x f

x x

f

Equations de droites.

1) a) Quelle est la position relative des droites suivantes ? b) Vérifie sur un graphique muni d’un repère orthonormé.

0 1 3 8

6

2 5 4 0

4 5

7 4

4 5 5















































y k et x

j

y x i et y

x h

x y g et x

y f

x y e et x

y d

2) Dans chaque cas, détermine l’équation de la droite.

a passe par (0 ;0) et a comme coefficient -2 ; b passe par (2 ;1) et a comme coefficient 5 ; c passe par (-4 ;2) et (-3 ;1) ;

d passe par (5 ;-2) et est parallèle à la droite ^z^ ^y ^^⁴^x^¹ ; e passe par (-4 ;2) et est parallèle à la droite ^t^³^y^^x^¹^⁰ ; f passe par (-8 ;2) et (-3 ;2) ;

g passe par (-4 ;2) et (-4 ;1) ;

h passe par (-4 ;2) et est perpendiculaire à la droite ^t ^³^y^^x^¹^⁰; i passe par (5 ;-2) et est parallèle à la droite qui passe par (-4 ;0) et (0 ;1) . Systèmes de 2 équations à 2 inconnues.

1) Résous les systèmes suivants par les méthodes de substitution et graphique.

 







 







 







 







24 ; 023 434

; 53 42

; 58 193 2

yx yx yx yx yx yx yx yx

2) Résous les systèmes suivants par les méthodes des combinaisons et graphique.

(7)

 







 







 







 







24 ; 023 2734

; 932 1232

; 224 5 192

yx yx yx yx yx yx yx

yx

Les angles.

1) le cercle de centre O a pour diamètre [NR] et | |=110° . a) Détermine l’amplitude de l’angle . Justifie.

b) Détermine l’amplitude de l’angle . Justifie.

c) Déduis-en l’amplitude des angles et

2) O est le centre du cercle passant par A, D et C.

| |=50° et | |=150°, détermine l’amplitude Des angles du triangle ADC.

(8)

Le théorème de Pythagore.

1) Calcule la longueur du côté qui manque

6 ? 12 ?

7 8

2) On a un rectangle dont les sommets se nomment EFGH. Sa longueur mesure 15 cm et sa largeur 9 cm. Calcule la longueur de ses diagonales.

3) Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que |AB| = 3,8 cm et |AC|= 3 cm. Soit M le milieu de [BC]. Calculer |MC|.

4) Le coin du carré blanc est à 4 cm du coin du grand carré. Le côté du grand carré mesure 10 cm.

Quelle est l’aire du carré blanc ?

5) Les triangles ci-dessous sont ils rectangles ?

3.5

a) b) c)

3

10 8 4.5 5.7

6

6) Je dois fabriquer une tige de bois pour la placer entre les points A et B de ce carton.

Quelle longueur devra-t-elle avoir exactement ? Justifier avec des calculs !

(9)

Le théorème de Thalès et figures semblables.

1)

D A AB ∥ CD et AC ∦ BD.

O |OA|=8 ; |OB|=10 ; |OC|=2 et |DC|=1,5.

Calcule |AB| et|OD|.

C

B 2)

E |AB|=8 ; |AD|=4,5 et |AE|=1,5, calcule |AM|

M

A B Place le point N sur le segment [DC] tel que : |DN|=

.

|DC|. Démontre que les droites AN et EC sont parallèles.

D C