Fonction du second degré

Fonction du second degré

Mathématiques

A. OLLIVIER

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

Définition

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Définition

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Résoudre l’équationP(x) =ax²+bx+c=0, c’est trouver tous les nombres réelsx tels queP(x) =ax²+bx+c =0.

Définition

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Résoudre l’équationP(x) =ax²+bx+c=0, c’est trouver tous les nombres réelsx tels queP(x) =ax²+bx+c =0.

Un tel nombre est dit solution de l’équationP(x) = 0 ou encore . . . du polynômeP(x).

Définition

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Résoudre l’équationP(x) =ax²+bx+c=0, c’est trouver tous les nombres réelsx tels queP(x) =ax²+bx+c =0.

Un tel nombre est dit solution de l’équationP(x) = 0 ou encoreracinedu polynômeP(x).

Définition

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Résoudre l’équationP(x) =ax²+bx+c=0, c’est trouver tous les nombres réelsx tels queP(x) =ax²+bx+c =0.

Un tel nombre est dit solution de l’équationP(x) = 0 ou encoreracinedu polynômeP(x).

Définition

• P(x) = 3x²−2x +4 est un trinôme du second degré, avec . . . .

• Q(x) =−x²+16 est un trinôme du second degré, avec . . . ..

Exemple

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Résoudre l’équationP(x) =ax²+bx+c=0, c’est trouver tous les nombres réelsx tels queP(x) =ax²+bx+c =0.

Un tel nombre est dit solution de l’équationP(x) = 0 ou encoreracinedu polynômeP(x).

Définition

• P(x) = 3x²−2x +4 est un trinôme du second degré, aveca=3,b =−2 etc =4.

Exemple

Une équation du second degré, à une inconnuex, est une équation qui peut s’écrire sous la formeax²+bx+c =0, oùa,b, etc sont trois nombres réels donnés, eta6=0.

P(x) = ax²+bx +c est une fonction polynôme, ou tri- nôme, du second degré.

Résoudre l’équationP(x) =ax²+bx+c=0, c’est trouver tous les nombres réelsx tels queP(x) =ax²+bx+c =0.

Un tel nombre est dit solution de l’équationP(x) = 0 ou encoreracinedu polynômeP(x).

Définition

• P(x) = 3x²−2x +4 est un trinôme du second degré, aveca=3,b =−2 etc =4.

• Q(x) =−x²+16 est un trinôme du second degré, avec a=−1,b=0 etc =16.

Exemple

P(x) =ax²+bx+c

P(x) =ax²+bx+c

=a

x²+ b ax+ c

a

P(x) =ax²+bx+c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

P(x) =ax²+bx +c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

x + b

2a 2

=x²+2×x × b 2a+

b 2a

2

P(x) =ax +bx +c

=a

x²+b ax+c

a

=a

"

x + b

2a 2

− b

2a 2

+ c a

#

x + b

2a 2

=x²+2×x × b 2a+

b 2a

2

car (A+B)²=A²+2×A×B+B²

P(x) =ax²+bx +c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

x + b

2a 2

=x²+2×x × b 2a+

b 2a

2

=x²+b ax +

b 2a

2

P(x) =ax²+bx+c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b² 4a² +c

a

#

P(x) =ax²+bx+c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b² 4a² +c

a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b²

4a² +4ac 4a²

#

P(x) =ax²+bx+c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b² 4a² +c

a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b²

4a² +4ac 4a²

#

=a

"

x+ b

2a 2

−b²−4ac 4a²

#

P(x) =ax²+bx+c

=a

x²+ b ax+ c

a

=a

"

x+ b

2a 2

− b

2a 2

+c a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b² 4a² +c

a

#

=a

"

x+ b

2a 2

− b²

4a² +4ac 4a²

#

=a

"

x+ b

2a 2

−b²−4ac 4a²

#

Cette expression s’appelle laforme canoniquedu polynômeP.

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆<0,

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆<0,alors ∆ 4a² <0,

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆<0,alors ∆

4a² <0, et donc,− ∆ 4a² >0,

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆<0,alors ∆

4a² <0, et donc,− ∆

4a² >0, d’où, pour tout x ∈^R,

x + b

2a 2

− ∆ 4a² >0.

P(x) =a

"

x+ b 2a

2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆<0,alors ∆

4a² <0, et donc,− ∆

4a² >0, d’où, pour tout x ∈^R,

x + b

2a 2

− ∆ 4a² >0.

L’équationP(x) =0 n’a donc aucune solution.

P(x) =a

"

x+ b

2a 2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

P(x) =a

"

x+ b

2a 2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆ =0,

P(x) =a

"

x+ b

2a 2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆ =0, alorsP(x) =a

x + b 2a

2

,

P(x) =a

"

x+ b

2a 2

− b²−4ac 4a²

#

On pose∆ =b²−4ac, et on a donc,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆ =0, alorsP(x) =a

x + b 2a

2

, et l’équation

P(x) =a

x+ b 2a

2

=0 admet une unique solutionx =− b 2a.

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0, alors√

∆existe et,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0, alors√

∆existe et,∆ =√

∆2

,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0, alors√

∆existe et,∆ =√

∆2

, et donc,

∆ 4a² =

√∆ 2a

!2

,

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0, alors√

∆existe et,∆ =√

∆2

, et donc,

∆ 4a² =

√∆ 2a

!2

, et,

P(x) =a





x+ b 2a

2

−

√∆ 2a

!2



P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0, alors√

∆existe et,∆ =√

∆2

, et donc,

∆ 4a² =

√∆ 2a

!2

, et,

P(x) =a





x+ b 2a

2

−

√∆ 2a

!2



=a x+ b 2a +

√∆ 2a

! x+ b

2a −

√∆ 2a

!

P(x) =a

"

x + b 2a

2

− ∆ 4a²

#

•Si∆>0, alors√

∆existe et,∆ =√

∆2

, et donc,

∆ 4a² =

√∆ 2a

!2

, et,

P(x) =a





x+ b 2a

2

−

√∆ 2a

!2



=a x+ b 2a +

√∆ 2a

! x+ b

2a −

√∆ 2a

!

=a x+b+√

∆ 2a

!

x +b−√

∆ 2a

!

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

On posex₁=−b+√

∆ 2a

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

On posex₁=−b+√

∆

2a = −b−√

∆ 2a ,

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

On posex₁=−b+√

∆

2a = −b−√

∆ 2a , et, x₂=−b−√

∆ 2a

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

On posex₁=−b+√

∆

2a = −b−√

∆ 2a , et, x₂=−b−√

∆

2a = −b+√

∆ 2a ,

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

On posex₁=−b+√

∆

2a = −b−√

∆ 2a , et, x₂=−b−√

∆

2a = −b+√

∆

2a , et on a alors : P(x) =a(x −x₁)(x −x₂)

•Si∆>0, alors :

P(x) =a x+b+√

∆ 2a

!

x+b−√

∆ 2a

!

On posex₁=−b+√

∆

2a = −b−√

∆ 2a , et, x₂=−b−√

∆

2a = −b+√

∆

2a , et on a alors : P(x) =a(x −x₁)(x −x₂)

et donc, l’équationP(x) =ax²+bx +c =0 admet deux solutions distinctes,x₁etx₂.

Le nombre ∆ = b²−4ac s’appelle le discriminant du trinôme du second degréP(x) =ax²+bx+c.

Définition

Le nombre ∆ = b²−4ac s’appelle le discriminant du trinôme du second degréP(x) =ax²+bx+c.

Définition

• Si∆<0, le trinôme n’a pas de racine ; Théorème

Le nombre ∆ = b²−4ac s’appelle le discriminant du trinôme du second degréP(x) =ax²+bx+c.

Définition

• Si∆<0, le trinôme n’a pas de racine ;

• Si∆ = 0, le trinôme a une racine "double" x₀ = − b 2a, et le trinôme se factorise suivantP(x) =a(x −x₀)².

Théorème

Le nombre ∆ = b²−4ac s’appelle le discriminant du trinôme du second degréP(x) =ax²+bx+c.

Définition

• Si∆<0, le trinôme n’a pas de racine ;

• Si∆ = 0, le trinôme a une racine "double" x₀ = − b 2a, et le trinôme se factorise suivantP(x) =a(x −x₀)².

• Si∆>0, le trinôme admet deux racines distinctes :

x₁= −b−√

∆

2a et, x₂= −b+√

∆ 2a Théorème

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

x₁= −(−3)−√ 25 2×(−1)

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

x₁= −(−3)−√ 25 2×(−1)

= 3−5

−2

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

x₁= −(−3)−√ 25 2×(−1)

= 3−5

−2

=1

et

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

x₁= −(−3)−√ 25 2×(−1)

= 3−5

−2

=1

et

x₂= −(−3) +√ 25 2×(−1)

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

x₁= −(−3)−√ 25 2×(−1)

= 3−5

−2

=1

et

x₂= −(−3) +√ 25 2×(−1)

= 3+5

−2

Résoudre les équations ci-dessous :

(E₁) :2x²+4x+6=0 et (E₂) :−x²−3x+4=0 Exemple

Pour(E₁):∆ =−32<0 donc(E₁)n’a pas de solution.

Pour(E₂):∆ = (−3)²−4×(−1)×4=9+16=25>0 donc (E₂)a deux solutions :

x₁= −(−3)−√ 25 2×(−1)

= 3−5

−2

=1

et

x₂= −(−3) +√ 25 2×(−1)

= 3+5

−2

=−4