Sup PCSI2 — Contrˆole 1997/05

Sup PCSI2 — Contrˆole 1997/05

◮Notons⌈x⌉le plus petit relatif sup´erieur ou ´egal au r´eelx; nous avons donc⌈x⌉ ∈Zet ⌈x⌉ −1< x6⌈x⌉.

La partie enti`ere dexest not´ee⌊x⌋comme il est d’usage.

Partie I

Q1 Montrez que la fonctionx∈R7→ ⌈x⌉est croissante.

Q2 Justifiez :⌈x⌉<⌈y⌉ ⇒x < y.

Q3 La fonctionx∈R7→ ⌈x⌉est-elle strictement croissante ? Q4 Pourx∈R, justifiez la relation⌈x⌉=−⌊−x⌋.

Q5 Pourn∈Zetα∈R, ´etablissez⌈αn⌉+⌊(1−α)n⌋=n.

Q6 Justifiez : 26 l2n

3 m

< nd`es que le naturelnest au moins ´egal `a 3.

Q7 Soientaet bdeux naturels non nuls, etxun r´eel ; ´etablissez

»⌈x/a⌉

b

¼

=lx ab m

.

Partie II

◮Nous nous int´eressons `a une suite (Cn)n>2 v´erifiantC2= 1 etCn = 3C⌈2n/3⌉ pourn>3.

Q8 Montrez que ces relations d´efinissent effectivement une suite de naturels.

Q9 R´edigez une fonction Maple qui calculeCn en fonction den.

Q10 CalculezCnpourn∈[[3,12]] ; vous pr´esenterez les r´esultats dans un tableau r´esumant, de fa¸con concise mais explicite, les calculs (lesquels ne devront pas figurer sur votre copie).

Q11 Montrez queCn+1 est ´egal, soit `aCn, soit `a 3Cn. Q12 Quel est le sens de variation de la suite (Cn)n>2?

Partie III

◮NotonsP(n) l’assertion suivante :

hhPour 2n6k <3n, on aCk>k²ⁱⁱ Q13 Soitn>3 ; montrez que, siP(n) est vraie, alorsP(n+ 1) l’est aussi.

Q14 Exhibez un indicentel que P(n) soit vraie.

Q15 Montrez queCn>n² d`es quen est au moins ´egal `a un indicen1 que vous d´eterminerez. Quelle conclusion pouvez-vous en tirer, concernant le comportement de la suite (Cn)n>2?

Q16 Montrez qu’il existe une infinit´e d’indicesntels queCn+1= 3Cn. Q17 ComparezC3k+2 etC3k+3.

Q18 Existe-t-il un exposantβ tel que Cn^n→∞g n^β?

Tournez S.V.P.

Partie IV

◮Notonsβ = ln 3 ln³₂.

Q19 Justifiez (sans recours `a une calculatrice) l’encadrement 2< β <3.

Q20 Combien vaut 3³2 3

´β

? Q21 Notonsf : n>27→³n

2

´β

. Montrez queCn>f(n) pour toutn>2.

Q22 Notonsg: n>47→9(n−3)^β. Montrez queCn6g(n) pour toutn>4.

Q23 Quelle(s) relation(s) pouvez-vous alors ´ecrire entre les suites (Cn)n>2et (n^β)n>2? Partie V

◮Nous nous proposons de g´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent. SoientA >1 et α∈]0,1[. Notons E l’ensemble des naturelsnqui v´erifient n >⌈nα⌉.

Q24 Montrez queE n’est pas vide.

Q25 Explicitez, en fonction deα, le plus petit ´el´ementnαdeE.

Q26 Montrez queE={n∈N|n>nα}.

◮Nous nous int´eressons d´esormais aux suites (Dn)n>1 qui v´erifient la relation de r´ecurrence Dn = AD⌈nα⌉

pour toutn>nα.

Q27 L’ensembleDde ces suites peut-il ˆetre muni d’une structure deR-espace vectoriel ?

◮Dans la suite, (Dn)n>1 d´esigne un ´el´ement deD.

Q28 Montrez que, si l’on connaˆıt les termes d’indice compris entre 1 (inclus) etnα(exclu), on peut calculer tous les termes de cette suite.

Q29 Supposons qu’il existe des r´eelsket β strictement positifs tels queDn^n→∞g kn^β. Quelle doit ˆetre la valeur deβ?

◮Dans la suite,β d´esigne le r´eel que vous venez de d´eterminer. SupposonsDn >0 pour toutncompris entre 1 (inclus) etnα(exclu).

Q30 D´eterminez un r´eelK >0 tel queDn >Kn^β pour toutn>1.

Q31 D´eterminez de mˆeme des r´eelsM >0 etλ >0 tels queDn 6M(n−λ)^β pour toutn>nα. Q32 Quelle(s) relation(s) pouvez-vous alors ´ecrire entre les suites (Dn)n>2 et (n^β)n>2?

Q33 Il existe en informatique une structure de donn´ee appel´ee 2d-arbre. Voici un exemple de situation o`u cette structure peut ˆetre utilis´ee : une carte g´eographique ´etant pr´esent´ee sur un ´ecran d’ordinateur, on utilise le rectangle de s´election pour d´elimiter une zone ; on veut d´eterminer rapidement combien de villes sont situ´ees dans ce rectangle.

Lorsque l’on veut ´evaluer le coˆut d’une recherche dans un tel arbre r´epertoriantn points, on est amen´e `a

´etudier une suite (Qn)n>1d´efinie par les relationsQ1= 1 etQn= 2 + 2Q⌈n/4⌉pourn>2. Quelle estimation asymptotique deQn pouvez-vous donner ?

[Contr^ole 1997/05] Compos´e le 8 mars 2008