Sup PCSI2 — Devoir 2003/05 ◮ Nous nous proposons de d´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eral W

Sup PCSI2 — Devoir 2003/05

◮Nous nous proposons de d´eterminer la limite de la suite de terme g´en´eralW_n= X

16k6n

1 k².

◮Pourq∈N, nous noteronsJ_q= Z π/2

0

cos^2q(t)dtet I_q = Z π/2

0

t²cos^2q(t)dt.

◮Toutes les int´egrations par parties devront ˆetre soigneusement justifi´ees.

Q1 Calculez J0 etI0. Q2 Pour 06t6 π

2, ´etablissez l’in´egalit´et6 π 2 sin(t).

Q3 Pourq∈N, ´etablissez l’encadrement 06I_q 6 π²

4 (Jq−J_q+1).

Q4 Pourq∈N, ´ecrivez une relation entreJ_q+1 etJ_q. Q5 Montrez que la suite de terme g´en´eral I_q

J_q converge vers 0.

Q6 Soit q∈N. En effectuant deux int´egrations par parties, exprimezJ_q+1 en fonction deI_q+1et I_q. Q7 Soit q∈N. D´emontrez la relation I_q

J_q −I_q+1

J_q+1 = 1 2(q+ 1)² Q8 D´eterminez la limite de la suite de terme g´en´eral W_n.

[Devoir 2003/05] Compos´e le 11 juin 2008