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Sup PCSI2 — Devoir 2002/01 ◮ On note f : t ∈ R 7→ ln(1 + t2). Q1 Prouvez que f

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(1)

Sup PCSI2 — Devoir 2002/01

◮On notef : t∈R7→ln(1 +t2).

Q1 Prouvez quef est de classeD∞. Q2 Explicitez f′(t),f′′(t) etf′′′(t).

Q3 Pourn>1, montrez quef(n)(t) = Pn(t)

(1 +t2)n o`uPnest une fonction polynˆome. Vous serez amen´e `a exprimer Pn+1(t) en fonction dePn(t) et Pn′(t).

Q4 Explicitez Pn pour 16n65.

Q5 D´eterminez le degr´e et le coefficient dominant dePn.

Q6 D´eterminez la parit´e dePn. Deux m´ethodes diff´erentes sont envisageables.

Q7 Donnez les racines des fonctions polynˆomes P1 `aP5; vous les ´ecrirez sous la forme la plus simple possible.

[Devoir 2002/01] Compos´e le 11 juin 2008

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