D´eterminer, suivant les valeurs dex∈R, la nature de la s´erie P un

UNIVERSIT ´E D’ARTOIS FACULT ´E JEAN PERRIN Ann´ee 2014/15

LICENCE DE MATH´EMATIQUES L2 - Semestre 3

S´ERIES ET INT´EGRALES Examen du mercredi 7 janvier 2015. 3h.

Exercice 1 : (a) D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

xn= sin(n)

n²+ cos²(n) yn=

2n+ e⁻ⁿ 3n+ sin(n)

n

zn= n²⁰¹⁵ln(n)

n! tn=nⁿ¹² −1 (b) Soitu_n= _2n−e^x−nⁿ +1. D´eterminer, suivant les valeurs dex∈R, la nature de la s´erie P

u_n. (c) En lin´earisant cos²(n), montrer que la s´erie Pcos²(n)

n diverge. En d´eduire la nature de la s´erie de terme g´en´eral ln 1 +^cos(n)√_n

Exercice 2 : Soit u_n=√

n+a√

n+ 1 +b√

n+ 2, o`u a, b∈R. (a) Trouverα, β∈Rtels que ^√un_n =α+^β_n+ O(_n¹2).

(b) En d´eduire queP

u_n converge si, et seulement si,a=−2 et b= 1. (Si vous n’avez pas trouv´e α et/ouβ, expliquer au moins la m´ethode.)

(c) CalculerP

n≥0

√

n−2√

n+ 1 +√ n+ 2

.

Exercice 3 : Pour n∈N^∗, on noteIn= Z +∞

0

dx (1 +x²)ⁿ (a) Justifier la convergence des I_n, et calculerI₁.

(b) En tentant de calculerI_n par parties, montrer que I_n+1 = ²ⁿ⁻¹_2n I_n. (c) On poseu_n=√

nI_n etv_n= ln(u_n+1)−ln(u_n). Montrer, par un d´eveloppement limit´e, que la s´erie Pvn converge.

(d) En d´eduire que la suite ln(u_n)

n converge, et montrer qu’il existe A >0 tel queI_n∼ ^√A

n.

Exercice 4 : D´eterminer la nature des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes, en chacune des bornes in- crimin´ees, en discutant au besoin suivant la valeur des param`etres.

Z 1

0

ln(x)

p(1−x)^α dx (α∈R)

Z +∞

0

x^ae^−x

1 +x^b dx (a, b∈R)

Z +∞

0

ln 1 + 1 x^α

dx (α >0)

Exercice 4 : On consid`ere l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

0

x²cos(x³) x−sin(x)dx (a) D´eterminer sa nature en 0.

(b) Par le th´eor`eme d’Abel, montrer sa convergence en +∞.

(c) Montrer les (in)´egalit´es suivantes :

Z (^π₂+(n+1)π)¹³

(^π₂+nπ)¹³

x²cos(x³) dx = 2

3 et

Z (^π₂+(n+1)π)¹³

(^π₂+nπ)¹³

x²cos(x³) x−sin(x)dx

≥ 2

3· 1

(^π₂ + (n+ 1)π)¹³ + 1 (d) A-t-on convergence absolue en +∞ ? Justifier soigneusement.