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Intervalles de R . Valeurs absolues
Exercices 11 Comparaison de nombres
Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de leur différence : – si B−A >0, alorsB > A.
– si B−A <0, alorsB < A.
Exercice 1.
Comparer les couples de nombres suivants :
(x−6)2 etx2+ 36, où x >0 2
3 et 20 + 2x
29 + 3x, x∈R∗+ n
n+ 1 et n+ 1
n+ 2, n∈N 5√
2 + 1 2√
2−1 et 4 + 3√ 2 2√
2 + 1
Pour comparer deux nombres positifs, on peut aussi comparer leurs carrés : si A et B sont deux réels positifs, alors ils sont rangés dans le même ordre queA2 etB2.
Exercice 2.
Comparer les couples de nombres suivants :
√10−3 et
q
19−5√
10 √
7 + 1 et
q
2√ 7 + 7
√7 + 12 et 12
q
30 +√
7 √
a+√ b et√
a+b, a∈R+, b∈R+∗ pour n∈N,√
n2+ 4n+ 3 et n+ 2
√ 2+√
3 15 et
√
2+√ 3 9
2 Détermination d’un encadrement
Exercice 3.
Résoudre les inéquations en donnant la solution sous la forme d’un intervalle.
3x+ 2 ≤5x−3 2(3x−7) + 1>5x−1 (2x+ 1)2 <(2x+ 3)(2x−3) Exercice 4.
1. Soit xun réel appartenant à l’intervalle [5; 7[. À quel intervalle appartient 2x+ 7 ? 5−3x? −x? 2. Soit xun réel tel que 3−2x∈]−5; +3]. À quel intervalle appartient x?
3. Soit xun réel tel que |x| ∈[2; 3]. À quel ensemble appartientx?
3 Intersections. Réunions
Exercice 5.
1. Écrire si possible l’intersection des intervallesI et J sous la forme d’un seul intervalle : I =]−2 ; 1]∩]0 ; 3]; I =]− ∞; 3[∩]4 ; 7]; I = [2 ; +∞[∩]4 ; 7]
2. Même question mais en remplaçant « intersection » par « réunion ».
Exercice 6.
1. Écrire sous la forme d’un intervalle les réels x vérifiant les deux inéquations suivantes : 3x−1≥0 et 2x+ 3>0
2. Résoudre les systèmes suivants (on donnera la réponse sous la forme d’un intervalle) :
( x−3≤0 5 + 2x≥0
( 2x−1<0 3−x≤0
( 7x+ 1>0 2−3x≥0
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Intervalles de R . Valeurs absolues
Exercices 24 Calculs avec des valeurs absolues
Exercice 7.
Calculer en donnant les réponses en valeurs exactes :
A=|3 + 7|+|7−10|+| −3| B =|5−3| − |3−7|+ 2| −5|
C = 5|2−7|+ 2|5−1| −7|2−3| D=|5√
2−1|+|2√ 2−5|
E =|√
3−2| − |2√
3−5|+|1−√
3| F = 3|2√
2−3| −|2√
2−3| − |3−5√ 2|
G=√
3−5)(√
3 + 5−2
√
3−42
H =2√
5−7×1−2√ 5
Exercice 8.
Résoudre dansR :
|x+ 2|= 5 |x−3|=−1 2|2x−1|= 8
|x+ 3|<2 |x+ 2| ≥ −1 |x−√
2| ≤2−√ 2
5 Distance
Exercice 9.
Calculer les distances entre les nombres suivants :
a=−7 et b= 3; a=−2,3 et b =−3,25; a=−√
3 et b = 2√ 3;
a = 2
7 etb= 3
5; a=| −5| etb =−4; a =x−3 et b =x+ 2,3;
Exercice 10.
xétant un réel quelconque, on note M le point d’abscisse xsur une droite graduée. Déterminer l’abscisse du point A dans les cas suivants :
AM =|x−4|; AM =|x+ 2|; AM =|3−x|; AM =| −x−2|
Exercice 11.
1. Déterminer graphiquement tous les réels équidistants de 2 et −4.
2. Résoudre l’équation |x−2|=|x+ 4|.
3. Résoudre les équations |x+ 3|=| −x+ 1| et |x−3|=|x+ 1|
Exercice 12.
Résoudre graphiquement dansR le système suivant :
( |5x+ 3| ≥5
|2x−1| ≤8
6 Pour finir. . .
Exercice 13.
Les longueurs des côtés d’un triangleABC vérifient les inégalités suivantes : 2,1< AB <2,2; 4,3< BC <4,4; 3,5< AC < 3,6;
Ce triangle peut-il être rectangle ?
