Noyau universel et valeurs absolues

Noyau universel et valeurs absolues

Jean-François Jaulent

à la mémoire de Georges Poitou

Résumé. Nous discutons les relations entre le noyau universel de Tate pour la K- théorie des corps de nombres, le radical initial desZ<sup>`</sup>-extensions et le noyau des valeurs absolues `-adiques aux divers étages de laZ<sup>`</sup>-extension cyclotomique d’un corps de nombresF contenant les racines2`-ièmes de l’unité, à la lumiére de la théorie`-adique globale du corps de classes introduite dans [Ja2] et des conjectures de Leopodt et de Gross.

Abstract. We discuss the relationship between the universal kernel introduced by Tate in theK-theory of number fields, the radical associated to theZ`-extensions and the kernel of the `-adic absolute values in the cyclotomic Z`-extension of a number field F which contains the2`-th roots of unity. Our study relies on the `-adic global class field theory introduced in [Ja2] and both involves the generalized Leopoldt and Gross conjectures.

Introduction

L’objet du travail est de présenter quelques unes des relations entre la `- partie du noyau universel de Tate, pour la K-théorie d’un corps de nombres F contenant les racines 2`-ièmes de l’unité, et le noyau des valeurs absolues

`-adiques principales, définies sur le `-adifié du groupe des idèles de F, à la lumière des conjectures de Leopoldt et de Gross généralisées.

En fait cet article trouve sa motivation dans de récents travaux de M. Kolster [Ko] et de K. Kramer [Kr], qui recoupent des résultats antérieurs de l’auteur [Ja2] et de T. Nguyen Quang Do [Ng₂] obtenus par d’autres voies, et mettent plus particulièrement en relief le réle non explicité jusqu’ici d’un noyau remarquable que l’on peut construire trés facilement en s’aidant des valeurs absolues`-adiques principales (i.e. des valeurs absolues à valeurs `-adiques) attachées aux places non complexes d’un corps de nombres quelconque.

Notre point de départ sera donc la théorie `-adique du corps de classes, élaborée dans [Ja2], que nous allons brièvement rappeler.

∗Astérisque198-199-200(1991), 187-207.

1. Le `-adifié du groupe des idèles d’un corps de nombres

Fixons une fois pour toutes un nombre premier`et considérons un corps de nombres F arbitraire (mais de degré fini surQ).

Le groupe des idèles classique de F est défini depuis Chevalley comme le produit restreint

J_F =

res

Y

p∈P lF

F_p^×

des groupes multiplicatifs des complétés respectifs deF en ses diverses places.Le facteurFp^× désigne donc :

- soit le groupe divisibleC^×, sip est complexe ; - soit le groupeR^× ={±1} ×R^×+, sip est réelle ;

- soit le produit F_p^× =µ⁰_pU_p¹π_p^Z du groupe fini µ⁰_p des racines de l’unité dansF_p d’ordre étranger àp, du groupeU_p¹ des unités principales deF_p et duZ-module libre engendré par une uniformisante arbitraireπ_p. Dans aucun des cas,F_p^× n’est donc unZ`-module. Ainsi, pour construire un tel module à partir de F_p^×, la solution la plus économique consiste-t-elle à former la limite projective

RF_p = lim

←−n

F^×/F^×`n

des quotients`-primaires du groupeF<sup>×</sup>. Cela étant, le passage au quotient ayant pour effet de tuer la partie`-divisible def^×, le module obtenu est évidemment trivial lorsque p est complexe ; et il est égal à {±1}^Z`/2Z`, lorsquep est réelle, donc encore trivial, sauf dans le cas`= 2 pour lequel il est isomorphe àZ/2Z.

Enfin, sipest ultramétrique, deux cas se présentent : - ou bienp est modérée (i.e. étrangère à`) et

RF_p = µpπ^Z_p^`

s’identifie au produit du `-groupe de Sylow µ<sub>p</sub> de µ<sup>0</sup><sub>p</sub> et du Z`-module libre engendré par l’image de l’uniformisanteπ_p(que nous écrirons encore π_p) ;

- ou bienp est sauvage (i.e. au-dessus de`) et R<sub>Fp</sub> = U<sub>p</sub><sup>1</sup>π<sub>p</sub><sup>Z`</sup>

est le produit du sous-groupeU_p¹ des unités principales deFp et du Z`- module libre engendré par l’image deπp (que nous écrirons encoreπp).

Dans tous les cas, RF_p est ainsi unZ`-module noethérien (donc compact pour sa topologie naturelle deZ`-module) et il est commode d’écrire :

RF_p = Upπ^Z_p^`

en convenant de prendreπp=−1pourp réelle lorsque`vaut 2.

Il est alors naturel de définir le`-adifiéJF du groupe des idèles JF comme le produit restreint :

JF =

res

Y

p∈P lF

RF_p

c’est-é-dire comme la réunion sur tous les ensembles finisS de places deF :

J_F = \

S⊂P lF

U_F^S , avec U_F^S = Y

p∈S

R_Fp Y

p/∈S

U_Fp ;

et d’équiper JF de la topologie limite inductive des topologies des U_F^S; ces derniers étant regardés comme compacts en tant que produits de modules com- pacts, de sorte que la topologie deJ_F n’est pas la restriction àJ_F du produit des topologies desRF_p, mais fait cependant deJF une réunion dénombrable de sous-modules compacts.

Si maintenant on prend comme `-adifié du groupe des idèles principaux le tensorisé`-adique

RF = Z`⊗_ZF^×

du groupe multiplicatif de F (qui joue donc le rôle du rayon), et qu’on envoie R_F dans J_F en s’aidant du plongement diagonal de F^× dans J_F, le résultat fondamental du corps de classes`-adique est le suivant (cf. [Ja2], Th. I.1.13) : Théorème 1 (Isomorphisme`-adique du corps de classes). Le groupeRF des idèles principaux s’identifie canoniquement à un sous-groupe fermé du groupe des idèlesJF et le quotient topologique

CF = JF/RF

est un groupe compact isomorphe au groupe de Galois GF = Gal(F^ab/F)de la pro-`-extension maximaleF^ab du corpsF.

Sans doute n’est-il pas inutile de rappeler, puisqu’elle intervient plus loin, comment s’exprime dans ce contexte la conjecture de Leopoldt : désignons pour cela par µ_F le `-groupe des racines de l’unité dansF (i.e. le `-sous-groupe de Sylow deF^×) puis, pour chaque placepdeF, écrivonsµ_p son homologue dans F_p. Cela posé, nous avons (cf. [Ja₂], Ch. I) :

Conjecture de Leopoldt généralisée.Les idèles principaux (i.e. les éléments de RF) qui sont localement partout des racines de l’unité (dans JF) sont des racines globales de l’unité ; ce qui s’écrit :

RF ∩ Y

p∈P l_F

µp = µF.

Bien entendu, les idèles concernés étant trivialement des unités, i.e. des élé- ments du tensorisé`-adique

EF = Z`⊗_ZEF

du groupe des unitésE_F deF, la conjecture précédente revient à affirmer que le rang `-adique du groupe des unités de F est égal au nombre de Dirichlet r_F+c_F−1, ce qui, lorsque le corpsF est totalement réel, est bien le postulat initial de H.W. Leopoldt.

2. Définition des valeurs absolues `-adiques principales

On sait que les valeurs absolues réelles (c’est-é-dire à valeurs dans R^×), attachées aux diverses places d’un corps de nombresF et définies sur le groupe des idèles JF, sont telles que leurs restrictions à F^× satisfont la formule du produit :

Y

p∈P lF

|x|p= 1, ∀x∈F^×.

Pour obtenir un analogue dans JF, il est nécessaire de définir des valeurs absolues à valeurs non dans R^×+ mais dans le groupe multiplicatif Z^×` ; en fait dans son sous-groupe principal1 +`Z`. Pour cela on peut procéder comme suit :

- pour` impair, soit :

<·>= h · i | Z^×` →1 +`Z`

la projection canonique deZ^×_{`</sub> sur1+`Z`, qui a pour noyau le sous-groupe µ<sup>0</sup><sub>`} des racines(`−1)-ièmes de l’unité dansZ`;

- et pour`= 2, soit :

<·>= sg(·))h · i | Z2×→ {±1}(1 + 4Z2)

la décomposition canonique deZ^×2 = 1 + 2Z2' {±1}(1 + 4Z2).

Définition 2. Pour chaque placep deF on définit sur le`-adifiéJF du groupe des idèles du corps F une valeur absolue || · ||p à valeurs dans 1 +`Z`, qui se factorise via le compactifié profini RF_p, en posant pour tout x= (xp)p deJF :

(i) ||x||p:= 1, sipest complexe ; (ii) ||x||p:=<sg(xp >, sip est réelle ;

(iii) ||x||p:=< Np^−vp(xp)>, sip est ultramétrique mais étrangére à`; (iv) ||x||p:=< NF<sub>p</sub>/Q`(xp)Np^−vp(xp)>, enfin sip est au-dessus de`.

Nous disons que|| · ||p est la valeur absolue`-adique signée attachée àp; et que

| · |p:= h || · ||pi

est la valeur absolue `-adique principale (é valeurs dans1 + 2`Z`) attachée àp.

Remarque.La valeur absolue principale ainsi définie ne coïncide pas exactement avec celle donnée par J. Tate (cf. [Ta2], Ch. VI, Déf. 1.1). Plus précisément, elle est égale au crocheth · ide la valeur absolue de Tate.

Dans les trois premiers cas la définition des valeurs absolues`-adiques est la transposition directe de la définition réelle, le choix de la norme absolue Np correspondant à une normalisation naturelle. La condition (iv) est alors dictée par la formule du produit. En effet, avec les conventions précédentes, on a immédiatement (cf. [Ja₂], Prop. I.1.8), comme attendu :

Y

p∈P lF

||x||p = Y

p∈P l_Q

||N_{F /Q}(x)||p= 1, ∀x∈F^×.

D’un autre cété, pour chaque place finiep, l’image| RF_p|p est évidemment un sous-module d’indice fini de1 + 2`Z`. En particulier, c’est unZ`-module libre de rang 1 et le noyauUeF_p de| · |p est ainsi un sous-module pur de RF_p :

Proposition 3. Le noyauUe_FpdansR_Fp de la valeur absolue`-adique principale

| · |_p est donné par les formules suivantes :

(i) UeFp = UFp, pourp-`. Autrement dit,UeFp est trivial sipest réelle ; il est égal au sous-groupe de torsionµ<sub>p</sub> deRFp sipest une place ultramétrique qui ne divise pas`.

(ii) Ue_Fp = Ker (Log_{`</sub>◦N<sub>Fp/Q`}), oé Log_{`</sub> est le logarithme d’Iwasawa dans Q<sup>×</sup><sub>`}, pour p |`. Dans ce cas, UeF<sub>p</sub> est le produit direct du sous-groupe de torsion µp de RF<sub>p</sub> et d’un Z` module libre de dimension [Fp : Q`]; et c’est encore un sous-module pur deRF_p.

Preuve. le cas (i) étant immédiat, examinons attentivement le cas (ii). Si p divise`, la condition |x_p|_p= 1s’écrit pour unx_p deRF_p :

hN_Fp/Q`(xp)Np^−vp(xp)i = 1.

Elle affirme donc que la norme locale de xp s’écrit comme produit d’une puis- sance de` ( qui est nécessairementNp<sup>−vp(xp)</sup>) et d’une racine de l’unité. Mais cette propriété caractérise précisément le logarithme d’Iwasawa dansQ`, ce qui conduit à l’égalité annoncée.

Remarque.Lorsque `vaut 2, la condition||xp||p= 1pourp|`s’écrit : NF_p/Q`(xp) ∈ 2^Z2.

Elle définit donc un sous-groupeUe⁺_F

p d’indice 1 ou 2 du noyauUe_Fp de la valeur absolue principale| · |_p. Cet indice s’interprète d’ailleurs très simplement par la théorie locale du corps de classes.

Considérons, en effet, l’extension abélienne deF_p, disonsL_p, qui est associée à Ue⁺_Fp par le corps de classes : le groupe de Galois G_p = Gal(F^ab_p /F_p) de la pro-`-extension abélienne maximale F^ab_p de F_p s’identifiant au groupe profini RF_p = lim

←−F_p^×/F_p^×`n, le corpsLp est tout simplement la sous-extension deF^ab_p qui est fixée parUe⁺_F

p :

- sipest réelle (i.e. pourFp=R), c’estRsi`est impair etCsi`vaut 2 ; et, dans les deux cas, c’est la`-extension cyclotomique de R;

- sipest modérée (i.e. ultramétrique mais étrangère à`),Ue⁺_F

ps’identifie au sous-groupe d’inertie de Gp et Lp est donc la pro-`-extension abélienne maximale non ramifiée deFp; c’est-é-dire saZ`-extension cyclotomique.

- si p est sauvage (i.e. au-dessus de `) et ` est impair, Ue⁺_F

p est l’image réciproque par la norme localeN<sub>Fp/Q`</sub> du noyau dans Q` du logarithme d’Iwasawa, noyau qui est précisément constitué des normes cyclotomiques ; de sorte que dans ce cas encoreLp est exactement laZ`-extension cyclo- tomique deFp;

- enfin sipest sauvage et` vaut 2, la même description normique montre queLp est la pro-2-extension cyclotomique maximale deFp, laquelle est une extension au plus quadratique de la Z2-extension cyclotomique de F_p.

3. Le groupe des classes de valeurs absolues

Nous avons vu dans la section précédente que les idèles principaux (i.e. les éléments deR_Fp) satisfont la formule du produit pour les valuations`-adiques :

||x||:= Y

p∈P l(F)

|x|p= 1.

Désignons par JeF le sous-groupe fermé de JF constitué de tous les idèles qui vérifient la formule du produit :

JeF = Yf

p∈P l(F)

RF_p =

((xp)p∈ JF | ||x||:=Y

|x|p= 1 .

C’est un sous-module fermé deJF qui contientRFet il lui correspond donc, par la théorie`-adique du corps d classes, une extension abélienne deF, disonsF_∞. Pour la déterminer, il suffit de remarquer queJeF est l’image réciproque par la norme arithmétique N_{F /Q} de son analogue Je_Q dansJ_Q. Maintenant, un calcul immédiat montre queJe_Q est engendré par R_Q et le produit Q

p6=`U_p. La pro-

`-extension abélienne de Q associée à JeF est donc celle `-ramifiée maximale, c’est-à-dire tout simplement la Z`-extension cyclotomique Q∞ de Q; et celle associée àJeF est donc laZ`-extension cyclotomiqueF∞=FQ∞ deF.

Définition 4. Etant donné un corps de nombres F, soit (i) JeF =Qe

p∈P l(F)RF_p le noyau dans JF de la formule du produit, (ii) Ue⁺_F =Q

p∈P l(F)Ue⁺_F

p le noyau des valeurs absolues `-adiques et (iii) Ue_F =Q

p∈P l(F)Ue_Fp le noyau des valeurs absolues principales.

Nous disons que le quotient

fC`⁺_F := JeF/Ue⁺_FRF

est le groupe des classes de valeurs absolues du corps F; et que son quotient fC`F := JeF/UeFRF

est le `-groupe des classes logarithmiques deF.

L’appellation classes logarithmiques se comprend comme suit : aux places finies modérées, l’application composée de la valeur absolue`-adique principale

| · |p surRFp et de l’opposé du logarithme `-adique Log<sub>`</sub>, défini sur le groupe multiplicatif1 + 2`‘Zlpar son développement en série

−Log_`(1 +x) =P∞

n=1(−1)ⁿxⁿ,

induit un isomorphisme du quotientRFp/UeFpsur le sous-module deZ`engendré par le logarithme`-adique de la norme absolue de l’idéalp:

R_Fp/Ue_Fp = Z`Log<sub>`</sub>Np.

Comme un résultat semblable (bien que plus compliqué) vaut pour les places sauvages, le quotient JeF/UeF représente en quelque sorte le`-groupe des divi- seurs logarithmiques du corps F; et son quotient par le sous groupe principal RF<sub>p</sub>UeF/UeF est bien le`-groupe des classes logarithmiques deF.

Cela posé, nous avons :

Conjecture de Gross généralisée.Le groupefC`F est fini.

Pour retrouver la conjecture initiale de Gross dans cette formulation, consi- dérons la suite exacte canonique (ou le tilde signifie que l’on se restreint aux familles qui vérifient la formule du produit) :

E_F⁰ //Qe

p|`| RFp |p //fC`F //C`⁰_F

E_F⁰ //Qe

p|`RF_p/UeF_p //

'

OO

JeF/UeFRF //

'

OO

JF/U_F^`∞RF '

OO

Dans celle-ci le terme de gaucheE_F =Z`⊗E<sub>F</sub><sup>0</sup> est le tensorisé `-adique du groupe des unités deF; le terme de droiteC`<sup>0</sup><sub>F</sub> n’est rien d’autre que le`-groupe des`-classes d’idéaux (i.e. le quotient du `-groupe des classes d’idéaux au sens ordinaire par le sous-groupe engendré par les classes des idéaux premiers au- dessus de `) ; le terme enQe est un Z`-module libre de dimension lF −1, silF

désigne le nombre de places de F au-dessus de `; et fC`F est le `-groupe des classes logarithmiques. Cela étant, le groupeC`⁰_F étant fini, affirmer la finitude du groupefC`F équivaut donc à affirmer que le sous-module deQe

p|`| RFp |pqui est engendré par les valeurs absolues principales des`-unités deF est encore de dimensionl_F−1; ce qui, appliqué aux seules composantes imaginaires pour un corps à conjugaison complexe (i.e. extension quadratique totalement imaginaire d’un sous-corps totalement réel) est bien la première conjecture de B.H. Gross.

Pour relier maintenant la conjecture de Gross à ses interprétations cycloto- miques, il est commode de réinterpréter le groupe fC`<sub>F</sub> 'Je<sub>F</sub>/Ue<sub>F</sub>R<sub>F</sub> à l’aide de la théorie `-adique du corps de classes :

- D’un coté, nous avons vu plus haut que le numérateurJeF est associé à la`-extension cyclotomiqueF_∞ deF.

- D’un autre coté, nous savons par la théorie locale du corps de classes que le facteur UeF_p de RF_p est le groupe de normes qui correspond à la Z`-extension cyclotomique localeF<sub>p</sub><sup>c</sup> deFp. L’extension globale associée au produitUeFRF est donc la plus grande`-extension abélienne de deF qui est localement cyclotomique en chacune des places deF, autrement dit la pro-`-extension maximale K_∞ de F_∞ qui est abélienne sur F et complètement décomposée partout surF_∞.

Remarque. Aux places modérées la montée dans la Z`-extension cyclotomique F∞/F ayant épuisé les possibilités d’inertie, la condition de complète décom- position est simplement une condition de non ramification. Le corps L∞ est donc aussi la pro-`-extension abélienne maximale de F qui est non ramifiée et

`-décomposée surF<sub>∞</sub>: c’est ce qu’il est convenu d’appeler le`-corps des`-genres de l’extension profinie F<sub>∞</sub>/F. C’est pourquoi, puisque F<sub>∞</sub>/F est procyclique, disonsF<sub>∞</sub>=∩<sub>n∈N</sub>Fn avecFn cyclique de degré`ⁿ, le groupefC`F s’identifie au quotient des genres

fC`_F = C_∞/C^γ−1_∞ oéC_∞= lim

←−C`⁰_F

n est le groupe de Galois de la`-extension abélienne non rami- fiée`-décomposée maximale deF_∞ et γ un générateur topologique du groupe procyclique Γ = Gal(F_∞/F). On retrouve ainsi l’interprétation classique de la

conjecture de Gross, qui consiste à postuler que le polynôme caractéristique P ∈Z`[γ−1] duZ`[[γ−1]]-module C_∞ n’est pas un multiple de (γ−1) (cf.

[Ja2], p. 317).

4. Le noyau des valeurs absolues

Supposons, pour simplifier l’exposé que la`-tour cyclotomiqueL deF soit procyclique (ce qui est automatique lorsque ` est impair, mais peut être en défaut si`vaut 2).<sup>1</sup>Précisément, lorsque`vaut 2, le corpsF est nécessairement totalement imaginaire, de sorte que l’hypothèse faite implique en particulier que les valeurs absolues attachées aux places réelles n’intervienne pas (parce qu’elles sont triviales pour ` impair, parce qu’il n’y en pas pas pour ` = 2).

Plus généralement, l’image || RF_p ||p' RF_p/UeF_p du compactifié RF_p par la valeur absolue correspondante|| · ||p est alors unZ`-module libre quelle que soit la placep (de rang 0 si p est réelle ou complexe, 1 sinon) et la valeur absolue

`-adique|| · ||p coïncide avec la valeur absolue principale| · |p.

Introduisons maintenant le noyauNF =RF∩UeF des valeurs absolues dans RF, qui est contenu dans le tensorisé E_F⁰ = Z`⊗E<sub>F</sub><sup>0</sup> du groupe des`-unités de F. Cela étant, dans la suite exacte déjé rencontrée :

1 //NF //E_F⁰ //Qe

p|`| RFp |p //fC`F //C`⁰_F le terme médianQ

p|`| R<sub>Fp</sub> |<sub>p</sub>est unZ`-module libre de dimensionl_F−1(oùl_F désigne le nombre de places sauvages deF) et E_F⁰ est le produit du sous-module de torsion µF deRF (i.e. du `-groupe des racines de l’unité de F) par un Z`- module libre de dimension :rF+cF+lF−1(sirF etcF dénotent respectivement les nombres de places réelles et complexes de F).

Nous pouvons donc énoncer :

Proposition 5. Le noyau NF = RF ∩ UeF dans RF des valeurs absolues `- adiques principales est unZ`-module noethérien de dimension :

rF+cF +δF

oé r_F est le nombre de places réelles deF;c_F le nombre de places complexes ; etδF := dim<sub>Z`</sub>fC`F mesure le défaut de la conjecture de Gross dansF.

Scolie 6. Le tensorisé NF := (Q^{`</sup>/Z<sup>`})⊗<sub>Z`</sub>NF est unZ<sup>`</sup>-module divisible de codimension² :

rF+cF+δF.

On notera, en effet, que le produit tensoriel par le groupe divisibleQ`/Z`a eu pour conséquence de tuer le sous-groupe de torsionµF deNF.

Ce point acquis, le théorème principal de [Ko] (Th. 1.12) peut s’énoncer comme suit : désignons parH_Fle radical hilbertien attaché au corpsF défini par

H_F =

`<sup>−k</sup>⊗x∈R<sub>F</sub> := (Q`/Z`)⊗<sub>Z`</sub>R_F |x∈ J_F^`kUe_F .

Nous avons alors :

1. Pour`= 2, cela revient à supposer que l’on a :i∈F∞; i.e. dans la pratique :i∈F1

2. La codimension d’unZ`-module divisible est la dimension surZ`de son dual de Pontr- jagin.

Théorème 7. Il existe une suite exacte naturelle scindée deZ`-modules : 1→NF =H<sub>F</sub><sup>div</sup> →HF →fC`_F^tor→1

oéfC`<sub>F</sub><sup>tor</sup> est le sous-groupe de torsion du groupe des classes logarithmiquesfC`F

(autrement dit fC`_F lui-méme, sous la conjecture de Gross) et N_F = H_F^div le sous-module divisible maximal de HF.

Preuve du Théoréme. Remarquons d’abord que NF étant un sous-module pur deRF, comme expliqué à la proposition 5, son tensoriséN_F = (Q`/Z`)⊗_Z`NF

est un sous-module du tensorisé R_F = (Q`/Z`)⊗_Z` RF et il est trivialement contenu dansH_F. Tout le problème est donc d’interpréter le quotient H_F/N_F.

Pour cela , considérons un élément `<sup>−k</sup> ⊗x de HF. Par définition, nous pouvons écrire x = y<sup>`k</sup>u avec y ∈ J_F et u ∈ Ue_F, en fait u ∈ Je_F, puisque x et usont tous deux dans le noyau Je_F de la formule du produit. En associant à l’élément `<sup>−k</sup> ⊗x la classe cl(y) de y dans le quotient fC`F = JeF/UeFRF, nous définissons un morphisme deHF dansfC`F dont l’image est exactement le sou-groupe de torsionfC`_F^tor.

Quel est son noyau ? Supposonscl(y) = 1, i.e.y=vzavecv∈Ue_F etz∈ R_F. Nous avons alors : `<sup>−k</sup>⊗x=`^−k⊗(x/z^{`k</sup>)et x/z<sup>`k} ∈ RF∩ UeF =NF; ce qui établit l’exactitude de la suite.

Interprétation du noyau hilbertien HF. Considérons l’image, disonsH⁰_F, de HF

dans le tensoriséJ_F := (Q`/Z`)⊗_{Z`</sub>JF du groupe des idèles. Par définition, les éléments de H<sup>0</sup><sub>F</sub> sont ceux construits à partir des éléments de Ue<sub>F</sub>, c’est-é-dire, comme on l’a vu, à partir des normes cyclotomiques locales. maintenant, dans l’extension procycliqueF<sub>∞</sub>/F, le fait d’être norme ou pas se lit localement, en vertu du principe de Hasse. les éléments deHF sont donc tout simplement les éléments du radicalRF := (Q`/Z`)⊗<sub>Z`}RF qui sont représentés par les normes cyclotomiques :

H_F =

`<sup>−k</sup>⊗x∈R<sub>F</sub> | ∀n∈N x∈F<sup>×`k</sup>N_Fn/F(F_n^×) ,

oéN_Fn/F est la norme arithmétique dans la sous-extension Fn/F de degré `ⁿ de l’extension cyclotomiqueF_∞/F.

L’introduction du groupeHF dans la théorie cyclotomique, sous une forme naturellement très différente, remonte en fait à F. Bertrandias et J.-J. Payan, qui l’ont utilisée dans [BP] pour étudier une condition suffisante de la conjecture de Leopoldt (cf. [Ja1]).

Enfin l’appellation radical hilbertien que nous préférons, s’explique aisé- ment : du point de vue de laK-théorie des corps de nombres, les normes cyclo- tomiques sont caractérisées comme noyaux des symboles de Hilbert construits sur les racines de l’unité (cf. [Ja2], Ch. I.2).

5. Noyau universel et radical des Z`-extensions

Nous supposons désormais que le corpsF contient les racines 2`-ièmes de l’unité (de sorte que l’hypothèse restrictive considérée au début de la section 4 est alors remplie). Disons cependant que lorsque cette condition n’est pas véri- fiée, il est toujours possible de pallier cette difficulté (du moins pour`impair) en raisonnant sur le sur-corpsF⁰=F[ζ<sub>`</sub>]puis en redescendant les résultats surF en s’aidant de la décomposition semi-locale de l’algèbre de groupe Z`[Gal(F⁰/F)]

donnée par les idempotents primitifs associés aux caractères`-adiques irréduc- tibles du groupeGal(F⁰/F).

Commenéons par fixer quelques notations : pour chaque natureln, désignons parFn le l’extensionF[ζ`<sup>n</sup>]engendrée surF par les racines`ⁿ-ièmes de l’unité (de sorte que nous avonsF =F0=· · · =Fm jusqu’à un certain rangm, puis [Fn+1:Fn] =`pourn≥m) ; notonsΓle groupe de GaloisGal(F<sub>∞</sub>/F), identifié à Z` par le choix d’un générateur topologique γ, puis Λ =Z`[[γ−1]]l’algèbre d’Iwasawa associée ; etΓn = Γ<sup>`n−m</sup>, pourn≥m, le sous-groupeGal(F_∞/Fn).

Introduisons enfin le module de Tate :

T`= lim

←−µ`ⁿ

qui est la limite projective des sous-groupes finis de µ`<sup>∞</sup> pour les applications normes (et qui est isomorphe à Z`comme groupe abstrait) ; et notons :

T`= Hom(µ<sub>`</sub>^∞,Q`/Z`)

le module opposé, défini comme dual de Pontrjagin de la limite inductiveµ`<sup>∞</sup>des µn (qui est encoreZ` comme groupe abstrait, mais avec une action galoisienne différente). Cela posé, les résultats de [Ja2] montrent que les radicaux respectifs

RF_n:= (Q^{`</sup>/Z<sup>`})⊗_ZF_n^×= (Q^{`</sup>/Z<sup>`})⊗_Z`RF_n

associés aux corpsF_n vérifient la théorie de Galois dans la tourF_∞/F; c’est-à- dire que l’on a :

RF_n⊂RF∞, et en fait : RF_n =R^Γ_Fⁿ_∞

(cf. [Ja₁], Prop. I.2.2). Un résultat analogue vaut pour les radicaux hilbertiens :

HF_n =

`<sup>−k</sup>⊗x∈RF |x∈ J<sub>F</sub><sup>`k</sup>UeF = H^Γ_Fⁿ_∞

(cf. [Ja₁], Prop. I.2.18).

Nous sommes plus particulièrement intéressés ici par trois sous-groupes re- marquables du groupe RF∞:= (Q`/Z`)⊗F_∞^×, tous contenus dansHF∞ :

(i) Le noyauUF∞dansRF∞des symboles universels à valeurs dansK2(F_∞): U_F∞ :=

`<sup>−k</sup>⊗x∈R<sub>F∞</sub> | {ζ<sub>`</sub>k, x}= 1 dans K₂(F_∞) ; (ii) Le radical ZF∞ de la réunion Z∞ = ∪n∈NZn des composées des Z`-

extensionsZn des étages finis Fn de la tourF∞ : ZF∞ :=

`<sup>−k</sup>⊗x∈RF∞ |F<sub>∞</sub>[<sup>`k</sup>√

x]⊂Z_∞ .