Equations avec des valeurs absolues ´

Equations avec des valeurs absolues ´

Exercice 1

R´esoudre les ´equations ou in´equations suivantes :

|x 3^|4

|x4^| 21 5

|x 2^| 3

Exercice 2

Ecrire en utilisant la notion de valeurs absolues les affirmations suivantes : xPs3; 7^r

xPs8;4^sYr2; ^8r

Exercice 3

R´esoudre les syst`emes d’in´equations suivantes :

$

'

&

'

%

|x1^|  5 4

|x

1 5^|¤

1 20

"

|x1^| 2

|2x|¤2

Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1

Correction

Exercice 1

Rappel :

|x|

"

xsix¥0

xsix¤0

1.^|x + 3^|= -4

Une valeur absolue ´etant toujours positive, cette ´equation n’admet aucune solution.

D’o`u : S = ^H 2.

|x4^| 21 5 x421

5 oux421 5 x

41

5 oux

1 5 D’o`u : S = ^t1

5;41 5 ^u

3.^|x + 2^| 3 ´equivaut `a : -3 x + 2 3 soit : -5 x 1

D’o`u : S = ]-5 ; 1[.

Exercice 2

1.xPs3; 7^rðñ|x2^| 5 (7 - (-3) = 10) 2.xPs8;4^rYr2; ^8rðñ|x 1^|¥3.

Exercice 3 1.

$

'

&

'

%

|x1^|  5 4 ^p1^q

x

1 5

¤

1 20 ^p2^q

R´esolvons s´epar´ement les in´equations (1) et (2) :

|x1^|  5 4 ^ðñ

1 4  x 

9 4 Donc : S₁=

1 4;9

4

x

1 5

¤

1 20 ^ðñ

3

20 ^¤x¤

1 4 Donc : S₂=

3 20;1

4

D’o`u : S = S₁ ^XS₂ S =

3 20;1

4

2.

"

|x1^| 2 ^p1^q

|2x|¤2 ^p2^q

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R´esolvons s´epar´ement les in´equations (1) et (2) :

|x1^| 2^ðñ1 x 3 Donc : S₁= ]-1 ; 3[

|2x|¤2^ðñ2^¤2x¤2

ðñ4^¤x¤0

ðñ0^¤x¤4 Donc : S₂= [0 ; 4]

D’o`u : S = S₁ ^XS₂ S = [0 ; 3[

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