Exercice 3 1) Discuter suivant les valeurs de >0la nature de la série P n 1 lnn n

Université de Cergy - 2007-2008 - Mathématiques- S3

Examen de deuxième session: Séries Exercice 1

Soit la fonction f(x) =jsinxj; x2R:

1) Montrer que f est en tout point la somme de sa série de Fourier.

2) Calculer les coe¢ cients de Fourier de la fonctionf:(On rappelle la formule sinp sinq = 2 sin^{p q}₂ cos^p+q₂ ):

3) Montrer que la série1 +P

k 1(_2k+1¹ _2k¹ ₁)converge et calculer sa somme.

4) En déduire que

jsinxj= 4 X

k 1

( 1 2k 1

1

2k+ 1) sin²kx; x2R: Exercice 2

Soit F(x) =R1 x

1 cost t dt:

1) a) Montrer que F est dé…nie en0 et sur R:

b) Montrer queF est de classeC¹ surR et préciser sa dérivée F⁰:

2) Donner le développement en série entière en 0 de la fonction dé…nie par f(t) = ^{1 cos}_t ^t surR et f(0) = 0: En préciser le rayon de convergence.

3) En déduire le développement en série entière en 0 deF et son rayon.

Exercice 3

1) Discuter suivant les valeurs de >0la nature de la série P

n 1 lnn

n ; puis celle de la série P

n 1

ln(1+Cn)

n oùC >0 est une constante.

2) a) On rappelle que, pour 0 t ¹₂; on a 2t sin t t: En déduire un encadrement de

un( ) = Z ¹₂

0

dt

1 +n sin t; n 1:

b) Donner, suivant les valeurs de >0;la nature de la sérieP

n 1un( ):

3) a) Quelle est la relation entre u_n( ) etv_n( ) =R1 0

dt 1+n sin t ? b) Montrer quev_n( ) =Rn

n 1 dt

1+n jsin tj =Rn+1 n

dt 1+n jsin tj: 3) En déduire, suivant les valeurs de >0; la nature de l’intégrale

I( ) = Z ₁

0

dt 1 +t jsin tj:

1