Série 1 Exercice 1.

FSR

A. Rtibi Page 1

Série 1 Exercice 1.

Par utilisation de la méthode à coefficient indéterminée, trouver un polynôme qui interpole le nuage de points .

Exercice 2.

On considère les points , déterminer par la méthode de Lagrange le polynôme d’interpolation polynomiale qui passe par les points :

Exercice 3.

1. Déterminer le polynôme d'interpolation de Lagrange passant par les points .

2. Déduire le polynôme d'interpolation de Lagrange qui passe par les points .

3. On se donne la fonction . Déterminer le polynôme d'interpolation de Lagrange de relativement aux points

Exercice 4.

Soit la fonction définie par √

1. Construire la table des différences divisées à partir des données :

avec

2. Ecrire le polynôme d'interpolation de , en utilisant la formule de Newton et les différences divisées.

3. En déduire le polynôme d'interpolation relativement aux données précédentes et le point (

) avec

Exercice 5.

Soient deux fonctions définies par :

√ et et trois points

1. Montrer sans calcul que et ont le même le polynôme d'interpolation aux points .

2. Calculer le polynôme d'interpolation de Newton qui passe par les trois points données.

3. Calculer la valeur approchée de .

Exercice 6.

Soient , points distincts et une fonction . Sur chaque segment , on cherche un polynôme de degré (spline cubique) tel que :

vérifiant les conditions supplémentaires :

ainsi que :

1. On note, pour ; pour . Montrer alors que pour tout , on a :

A. RTIBI Page 2

2. En déduire qu'il existe des constantes telles que pour tout

, on a :

3. Comme pour et pour , montrer que pour tout on a :

4. Utilisant les conditions de continuité , montrer qu'on a :

où on a posé :

Ainsi le vecteur colonne de composantes est solution du système linéaire :

( )

|

|

|

|

5. Montrer que la matrice est à diagonale dominante. En déduire que la fonction spline s est déterminée de façon unique par la résolution du système linéaire de la question précédente.

6. Application : on considère la distribution cumulée des nouveau-nés de mères marocaines en fonction de leur âge. Trouver la fonction spline cubique qui interpole ces données et qui vérifie les conditions : .

Age 15 20 25 30 35 40 45

N 0 7,442 26,703 41,635 49,785 50,209 50,226

Exercice 7.

Soit une fonction que l'on cherche à interpoler sur l'intervalle

1. Calculer le polynôme d'interpolation de Newton sur les données suivantes :

2. Sachant que la fonction est égale à :

Calculer l'erreur d'interpolation que vous avez faite en et en . Les résultats sont- ils satisfaisants ?

3. On cherche à améliorer les résultats en interpolant avec une spline cubique, notée . On pose et avec et fixés. Pour trouver , on doit résoudre le système suivant :

Ecrire le système. On notera la matrice du système obtenu. On remarquera que est symétrique, définie positive et admet donc une unique factorisation .

4. Pensez-vous que les résultats de l'interpolation avec s ainsi calculé seront meilleurs ?