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CY Cergy Paris universit´e octobre 2020
Contrˆole continu Math´ematiques-MS3
Dur´ee 1 heure, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es
Exercice 1.
Etudier la nature des s´eries num´eriques suivantes:
(a)P∞ n=1 3n
(2n)!
(b)P∞
n=2(1−n22)n3 (c)P∞
n=1 lnn n2
(d)P∞ n=1
(−1)n n
Exercice 2.
Calculer le rayon de convergence et trouver la somme des s´eries enti`eres suivantes:
(a)P∞ n=1 xn
n
(b)P∞ n=1
n+1 n! xn (c)P∞
n=1 n 3nxn
Exercice 3:
Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere, en 0, des fonctions suivantes:
(a)f(x) = ln(1−x) (b)j(x) = arctanx (c)g(x) =x2sinx (d)h(x) = 1−xx3.
Exercice 4:
Montrer que l’´equation diff´erentielle y0 −3y = 0 d’inconnue y(x) : R → R admet une solution et une seule d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 et prenant la valeur 1 en 0.
