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Exercice #1. Soit a. n = p 1

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Academic year: 2022

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Université Claude Bernard Lyon 1 Licence de mathématiques 3 e année

Mesure et intégration Année 2019-2020

Auto-contrôle #3 –le 19 novembre 2019–

–durée 30 minutes–

Exercice #1. Soit a. n = p 1

n + 1 , ∀ n ∈ N . Pour quelles valeurs de p ∈ [1, ∞ ] a-t-on (a n ) ∈ ` p ?

Exercice #2. Nous travaillons dans R muni de la mesure de Lebesgue ν 1 . Soient f ∈ L 1 et g(x) = e − x

2

, ∀ x ∈ R.

1. Montrer que f ∗ g est continue.

2. Montrer que f ∗ g est intégrable.

Exercice #3. Soient U = {(x, y) ∈ R 2 ; 0 < x < y} et I =

Z

U

x y (y − x)

(x + y) 4 e − (x + y)

2

dxd y.

1. Calculer I à l’aide du changement de variables

( u = x + y

v = x y , que l’on justifiera.

2. Obtenir la valeur de I en utilisant les changements de variables x = t y et ( t + 1) y = z .

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