Universit´ e Grenoble Alpes L2

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MAT302 2020–2021

Contrˆ ole continu 1

Correction

* *

*

Exercice 1. 1. Supposons que P

n≥0

u

_n

converge. Cela signifie que la suite (S

_n

)

n∈N

des sommes partielles, d´ efinies par S

_n

= P

n

k=0

u

_k

, admet une limite finie `. Or pour tout n ≥ 1, u

_n

= S

_n

− S

_n−1

, donc (u

_n

)

_n∈N

converge vers ` − ` = 0.

2. Supposons que P

n≥0

u

_n

converge. Alors d’apr` es la question 1, lim

n→+∞

u

_n

= 0. Or ln(1 + x) ∼

x→0

x, donc v

_n

= ln(1 + u

_n

) ∼

n→+∞

u

_n

. Par th´ eor` eme de comparaison sur les s´ eries

`

a terme g´ en´ eral positif (c’est bien le cas de u

_n

par hypoth` ese et de v

_n

par croissante de ln par exemple), les s´ eries P

n≥0

u

_n

et P

n≥0

v

_n

sont de mˆ eme nature, donc P

n≥0

v

_n

converge.

Exercice 2. 1. Pour tout n ∈ N

^∗

, 0 ≤ u

_n

≤

√n

n²

=

_n3/2¹

. Or comme 3/2 > 1,

_n3/2¹

est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie de Riemann convergente, donc par comparaison de s´ eries ` a terme g´ en´ eral positif, ( P

u

n

) converge.

2. n = o(5

ⁿ

) et n

²

= o(4

ⁿ

) par croissances compar´ ees, donc u

_n

∼

n→+∞

5ⁿ

4ⁿ

=

⁵₄

n

, terme g´ en´ eral d’une s´ erie g´ eom´ etrique divergente car

⁵₄

> 1. Par th´ eor` eme de comparaison de s´ eries ` a terme g´ en´ eral positif, ( P

u

n

) diverge ´ egalement.

3.

u

_n

= n ln

1 + 1 n

− 1

1 +

_2n¹

= n 1

n − 1

2n

²

+ 1 3n

³

+ o

1 n

³

−

1 − 1 2n + 1

4n

²

+ o 1

n

²

= 1 − 1 2n + 1

3n

²

− 1 + 1 2n − 1

4n

²

+ o 1

n

²

= 1

12n

²

+ o 1

n

²

, donc u

_n

∼

n→+∞

1

12n²

, terme g´ en´ eral d’une s´ erie de Riemann convergente, donc par th´ eor` eme de comparaison de s´ eries ` a terme g´ en´ eral positif, ( P

u

n

) converge.

4. Si x ≥ 1, u

_n

−−−−→

n→+∞

+∞, donc la s´ erie ( P

u

_n

) diverge grossi` erement.

Si 0 ≤ x < 1, n

²

u

_n

= n

⁵

x

ⁿ

−−−−→

n→+∞

0 par croissances compar´ ees, donc u

_n

= o

_n¹2

. Or

_n¹2

est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie de Riemann convergente, donc par th´ eor` eme de comparaison de s´ eries ` a terme g´ en´ eral positif, ( P

u

n

) converge.

Exercice 3. 1. Pour tout N ∈ N , P

N n=1

1

(2n)²

= P

N n=1

1

4

×

_n¹2

=

¹₄

P

N n=1

1

n²

−−−−→

N→+∞

1 4

P

+∞

n=1 1

n²

=

^π₂₄²

, donc la s´ erie ´ etudi´ ee est convergente et a pour somme

^π₂₄²

. 2. Pour tout N ∈ N , en s´ eparant les termes d’indice pair et d’indice impair,

2N+1

X

k=1

1 k

²

=

N

X

n=1

1 (2n)

²

+

N

X

n=0

1 (2n + 1)

²

donc

N

X

n=0

1

(2n + 1)

²

=

2N+1

X

k=1

1 k

²

−

N

X

n=1

1

(2n)

²

−−−−→

N→+∞

π

²

6 − π

²

24 = π

²

8 , donc la s´ erie ( P

n∈N 1

(2n+1)²

) est convergente et P

+∞

n=0 1

(2n+1)²

=

^π₈²

.

1/1

0,5

0,5 0,5

1 0,5

0,5

0,5 sur 4

1 0,5

0,5 1

0,5

0,5 0,5

0,5

2,5

0,5

1 1

1 1

sur 12

1

2 pour penser aux sommes partielles et séparer proprement en justifiant

1