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UNIVERSIT´E PARIS 13 L2 1-er semestre Octobre 2006 TD 1 Exercices de r´evision 1. Calculer par r´ecurence sur l’entier n les sommes :

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UNIVERSIT ´ E PARIS 13 L2 1-er semestre

Octobre 2006

TD 1

Exercices de r´ evision

1. Calculer par r´ ecurence sur l’entier n les sommes :

n

X

i=0

i = 1 + 2 + . . . + n

n

X

i=0

i 2 = 1 + 2 2 + . . . + n 2

n

X

i=0

i 3 = 1 + 2 3 + . . . + n 3

2. D´ ecomposer en ´ el´ ements simples les fractions rationnelles : X 2 + X + 1 (X 2 − 1)(X − 2)

X 5 + 1 (X 2 + 1)(X − 2)

Dans ce dernier cas on fera une d´ ecomposition sur les r´ eels et sur les complexes.

X 3 + 1 (X 2 − 1)(X − 2) 2

X 2 + 1 X 3 + 1 Dans ce dernier cas on fera une d´ ecomposition sur les complexes.

X 2 + 1 (X 2 − 1)(X − 2) 4

3. Calculer les racines quatri` emes de i en d´ eduire cos(π/8).

4. Soit z un nombre complexe de module 1 tel que z 6 inR et soit a un nombre complexe. Montrer que

|a − z| = |1 − az| si et seulement si a est r´ eel.

5. Calculer le d´ eveloppement limit´ e de Arcsin( 1+x x

2

) ` a l’ordre 8 en 0.

6. Calculer la limite de la suite de nombres complexes 1+ina |1+ni| a est r´ eel.

7. Calculer la limite de la suite cos( 2 n!

n

) 8. Etudier la suite r´ ecurrente u n = 1+2u 1

n−1

en fonction de u 0 . 9. Etudier la suite r´ ecurrente u n = − 1+2u 1

n−1

en fonction de u 0 (’sur les r´ eels ou les complexes). 10. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y 0 = ay.11. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y 0 = ay + sin(x), en commen¸ cant par le cas sana second membre (expliquer la variation de la constante).

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