UNIVERSIT´E PARIS 13 L2 1-er semestre Octobre 2006 TD 1 Exercices de r´evision 1. Calculer par r´ecurence sur l’entier n les sommes :

UNIVERSIT ´ E PARIS 13 L2 1-er semestre

Octobre 2006

TD 1

Exercices de r´ evision

1. Calculer par r´ ecurence sur l’entier n les sommes :

n

X

i=0

i = 1 + 2 + . . . + n

n

X

i=0

i ² = 1 + 2 ² + . . . + n ²

n

X

i=0

i ³ = 1 + 2 ³ + . . . + n ³

2. D´ ecomposer en ´ el´ ements simples les fractions rationnelles : X ² + X + 1 (X ² − 1)(X − 2)

X ⁵ + 1 (X ² + 1)(X − 2)

Dans ce dernier cas on fera une d´ ecomposition sur les r´ eels et sur les complexes.

X ³ + 1 (X ² − 1)(X − 2) ²

X ² + 1 X ³ + 1 Dans ce dernier cas on fera une d´ ecomposition sur les complexes.

X ² + 1 (X ² − 1)(X − 2) ⁴

3. Calculer les racines quatri` emes de i en d´ eduire cos(π/8).

4. Soit z un nombre complexe de module 1 tel que z 6 inR et soit a un nombre complexe. Montrer que

|a − z| = |1 − az| si et seulement si a est r´ eel.

5. Calculer le d´ eveloppement limit´ e de Arcsin( _1+x ^x

) ` a l’ordre 8 en 0.

6. Calculer la limite de la suite de nombres complexes ^1+ina _|1+ni| a est r´ eel.

7. Calculer la limite de la suite cos( ² _n!

) 8. Etudier la suite r´ ecurrente u _n = _1+2u ¹

n−1

en fonction de u ₀ . 9. Etudier la suite r´ ecurrente u _n = − _1+2u ¹

n−1

en fonction de u ₀ (’sur les r´ eels ou les complexes). 10. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = ay.11. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle y ⁰ = ay + sin(x), en commen¸ cant par le cas sana second membre (expliquer la variation de la constante).

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