(1)L1-MAT Universit´e Grenoble Alpes Feuille de td 2 Exercice 1 L’ensembleR2 muni des deux lois + et·suivantes est-il un R-espace vectoriel ? 1

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L1-MAT 201, 2018-2019 Universit´e Grenoble Alpes

Feuille de td 2 Exercice 1

L’ensembleR² muni des deux lois + et·suivantes est-il un R-espace vectoriel ? 1.

(x, y) + (x^′, y^′) = (y+y^′, x+x^′) α.(x, y) = (αx, αy) 2.

(x, y) + (x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′) α.(x, y) = (αy, αx) 3.

(x, y) + (x^′, y^′) = (xx^′, yy^′) α.(x, y) = (αx, αy)

Exercice 2

Soient (E,+E,·E), (F,+F,·F) des K-espaces vectoriels. Montrer que E×F muni des lois + et · suivantes est unK-espace vectoriel :

∀(x, y),(x^′, y^′)∈E×F, (x, y) + (x^′, y^′) = (x+Ex^′, y+F y^′)

∀(x, y)∈E×F, ∀α∈K, α.(x, y) = (α·Ex, α·F y)

Exercice 3

Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel R^N des suites r´eelles, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

1. L’ensembleB des suites born´ees.

2. L’ensembleA des suites nulles `a partir d’un certain rang.

3. L’ensembleC des suites constantes `a partir d’un certain rang.

4. L’ensembleD des suites d´ecroissantes `a partir d’un certain rang.

5. L’ensembleL0 des suites convergeant vers 0.

6. L’ensembleM des suites monotones.

7. L’ensembleN des suites dont le terme général est61 à partir d’un certain rang.

8. L’ensembleP3 des suites 3-p´eriodiques.

9. L’ensembleP3 des suites p´eriodiques de p´eriode 3.

10. L’ensembleP des suites p´eriodiques.

Exercice 4

Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel K[X] des polynˆomes `a coefficients dans K, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

1. L’ensemble des polynˆomes nul ou de degr´e 0.

2. L’ensemble des polynˆomes de degr´e 3.

3. L’ensemble des polynˆomes dont le terme constant est nul.

4. L’ensemble des polynˆomes `a coefficients positifs ou nuls.

5. L’ensemble des polynˆomes multiples deX−1.

6. L’ensemble des polynˆomes multiples deX−1 ou deX+ 1.

7. L’ensemble des polynômes contenant uniquement des monômes de degrés impairs.

(2)

Parmi les sous-ensembles suivants de l’espace vectoriel R^R des applications deR dansR, lesquels sont des sous-espaces vectoriels, lesquels ne le sont pas et pourquoi ?

1. L’ensemble des applications telles quef(0) =f(1).

2. L’ensemble des applications telles quef(0) = 1.

3. L’ensemble des applications nulles sur l’intervalle [0,1].

4. L’ensemble des applications `a valeurs dans{0,1}.

5. L’ensemble des applications ne prenant qu’un nombre fini de valeurs.

6. L’ensemble des applications croissantes.

7. L’ensemble des applications paires.

8. L’ensemble des applications f telles qu’on a (f(x))² = (f(−x))² pour toutx∈R. 9. L’ensemble des applications 2π-p´eriodiques.

10. L’ensemble des applications p´eriodiques.

11. L’ensemble des applications f telles que la suite (f(n))n∈N tend vers 0.

12. L’ensemble des applications continuesf telles queR¹

0 f(x)dx= 0.

13. L’ensemble des applications continuesf telles queR¹

0 f³(x)dx= 0.

14. L’ensemble des applications f telles qu’il existe un entier k tel que pour tout x ∈ R, |f(x)| ≤ (2 +|x|)^k.

Exercice 6

Donner des lois + et ·qui rendent vraies les affirmations suivantes : 1. Cest un espace vectoriel surR.

2. L’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré62 est un espace vectoriel surR. 3. L’ensemble des applications de{0,1} dansRest un espace vectoriel sur R.

Exercice 7

Soit E un K-espace vectoriel. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. Deux sous-espaces vectoriels de E peuvent ˆetre disjoints.

2. Si un sous-ensemble de E contient toutes les droites vectorielles engendr´ees par ses vecteurs, alors c’est un espace vectoriel.

3. Si un sous-ensemble deE contient la somme de deux quelconques de ses vecteurs ainsi que toutes les droites vectorielles engendr´ees par ses vecteurs, alors c’est un espace vectoriel.

4. Si un sous-ensemble de E contient toutes les combinaisons lin´eaires de 2 quelconques de ses vecteurs, alors c’est un espace vectoriel.

5. Si un sous-ensemble de E contient tous les sous-espaces vectoriels engendr´es par deux de ses vecteurs, alors c’est un espace vectoriel.

6. Si un sous-ensemble de E contient la somme de deux quelconques de ses vecteurs, alors c’est un espace vectoriel.

Exercice 8

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels deR²? (justifier la r´eponse) 1) A={(x, y)∈R² |x≤y}

2) B ={(x, y)∈R² |xy= 0}

3) C={(x, y)∈R²|x=y}

4) D={(x, y)∈R²|x+y= 1}

5) E={(x, y)∈R²|x²−y²= 0}

6) F ={(x, y)∈R²|x²+y² = 0}

(3)

Soit E un K− espace vectoriel. Montrer que

∀x∈E 0K∗x= 0E, (1)

∀α∈K α∗0E = 0E, (2)

∀(α, x)∈K×E (α∗x= 0E ⇒α= 0Koux= 0E), (3)

∀x∈E (−1)∗x=−x, (4)

∀(α, β)∈K² ∀x∈E (α−β)∗x=α∗x−β∗x, (5)

∀α∈K ∀(x, y)∈E² α∗(x−y) =α∗x−α∗y. (6) Exercice 10

Soient F,Gdes sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que F∪G est un sous- espace vectoriel deE si et seulement siF ⊂G ou G⊂F. `A quelle condition a-t-onF ∪G=E?

Exercice 11

SoientF, G, H trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E.

1. Montrer queH∩(F+G)⊃(H∩F) + (H∩G) et donner un contre-exemple `a l’inclusion inverse.

2. Montrer queH+ (F∩G)⊂(H+F)∩(H+G) et donner un contre-exemple `a l’inclusion inverse.

3. Montrer queH∩(F + (H∩G)) = (H∩F) + (H∩G).

Exercice 12

Dans les cas suivants, montrer que F,G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E et dire s’ils sont suppl´ementaires ou non.

1. E=R²,F ={(x, y)∈E, x= 0}, G={(x, y)∈E, y= 0}.

2. E=R²,F ={(x, y)∈E, x−y = 0},G={(x, y)∈E, y= 0}.

3. E=R²,F ={(x, y)∈E, 2x−y= 0},G={(x, y)∈E, y= 0}.

4. E=R^R,F ={f ∈E, f(1) = 0},Gest l’ensemble des applications constantes.

Exercice 13

On consid`ere les sous-ensembles F etGde R³ d´efinis par F ={(x, y, z) ∈R³ |x+y−z= 0}

et

G={(a−b, a+b, a−3b)|a, b∈R}.

1) Montrer queF etG sont des sous-espaces vectoriels deR³. 2) D´eterminer F∩G.

Exercice 14

Soit H={(x¹, x2, x3, x4)∈R⁴|x1+x2+x3+x4 = 0}, et soitu= (1,1,1,1)∈R⁴. 1) Montrer queH est un sous-espace vectoriel deR⁴.

2) Montrer queH etD= Vect(u) sont suppl´ementaires.

3) Écrire les vecteurs suivants comme somme d’un élément deH et d’un élément deD : (1,2,−6,3); (2,2,2,2); (1,2,3,4).

Exercice 15

Dans R³,on consid`ere x= (1,−1,1) ety = (0,1, a), o`u a∈R.

Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur apour que le vecteur u= (1,1,2) appartienne

`

a Vect(x, y).

Comparer alors Vect(x, y),Vect(x, u) et Vect(y, u).

(4)

Soient E=F(R,R) l’ensemble des fonctions réelles définies sur Ret C ⊂E le sous-ensemble des fonctions réelles croissantes deE. Considérons

∆ ={f −g|f, g∈ C} . Montrer que ∆ est un sous-espace vectoriel deE.

(Pour les intr´epides : Montrer que l’inclusion ∆⊂E est stricte.) Exercice 17

On consid`ere les sous-ensembles F etGde C¹(R,R) d´efinis par F ={f ∈ C¹(R,R)|f(0) =f^′(0) = 0}

et

G={x7→ax+b|(a, b)∈R²}.

1) Montrer queF etG sont des sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deC¹(R,R).

2) Écrire la fonction x7−→e^x comme somme d’un élément deF et d’un élément de G.

Exercice 18

Dans l’espace vectoriel R₃[X] des polynômes à coefficients réels de degré au plus égal à 3, on considère les familles suivantes.

• (P1) = (1 +X²)

• (P1, P2) = ( 1 +X²,1−X²)

• (P³, P4) = (X+X²+X³, X−X²+X³)

• (P5, P1, P2) = ( 1 +X ,1 +X²,1−X²)

• (P5, P6, P7) = ( 1 +X ,1 +X³,1−X³) Pour chacune de ces familles :

1. Décrire les éléments du sous-espace F engendré par la famille.

2. D´ecrire un suppl´ementaire Gde F.

3. Ecrire chacun des polynômes suivants comme somme d’un polynôme deF et d’un polynôme de G.

1 ; X; X² ; X³ ; 1−X+X²−X³ ; 1 + 2X+ 3X²+ 4X³ Exercice 19

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des applications R-lin´eaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

1. f :R³ −→R² d´efinie par (x, y, z)7−→(x−z, y−z).

2. f :R³ −→R² d´efinie par (x, y, z)7−→(x+y,|z|).

3. f :R³ −→R² d´efinie par (x, y, z)7−→(x+y, z²).

4. f :C−→R² d´efinie parx+iy7−→(x, y).

5. f :C−→Rd´efinie parz7−→ Re (z).

6. f :C−→Cd´efinie parz7−→z.

7. f :C−→Rd´efinie parz7−→ |z|.

8. f :R^N−→R² d´efinie par (an)n∈N7−→(a0, a1).

(5)

Parmi les applications suivantes de R[X] dans R[X], lesquelles sont des applications lin´eaires, lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

1. f1:P(X)7−→P(X+ 1)−P(X) 2. f2:P(X)7−→P^′(X)

3. f3:P(X)7−→P(X+ 1)−X 4. f4:P(X)7−→XP(X+ 1)−P^′(X) 5. f5:P(X)7−→XP(X+ 1)−P^′(1) 6. f6:P(X)7−→XP(X+ 1)−P²(1)

Exercice 21

Soit f une application de R³ dans R. Montrer que f est lin´eaire si et seulement si il existe des r´eelsa1, a2, a3 tels quef(x1, x2, x3) =a1x1+a2x2+a3x3 pour tout (x1, x2, x3)∈R³.

Exercice 22

Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Dans cet exercice, on note f² =f◦f. Montrer les ´equivalences suivantes :

1. Imf ⊂Kerf ⇔f²= 0.

2. E= Kerf + Imf ⇔Imf = Imf². 3. Kerf ∩Imf ={0} ⇔Kerf = Kerf².

4. Les propriétés précédentes sont-elles vérifiées pour les applications linéaires suivantes ? (a) f :R² −→R² définie par (x, y)7−→(y,0).

(b) l’application d´erivation deR[X] dans lui-mˆeme.

(c) l’application d´erivation deR₃[X] dans lui-mˆeme.

Exercice 23

SoientE un espace vectoriel, F etGdeux sous-espaces suppl´ementaires dans E. On note :

• pF la projection surF parall`element `aG,

• sF la symétrie par rapport à F parallèlement à G,

• pG la projection surGparall`element `a F,

• sG la symétrie par rapport à Gparallèlement à F,

• idE l’application identique de E.

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ? a. pF +pG= idE. b. sF +sG = idE. c. sF −sG= 2pG. d.pF −pG =sF.

e. sF −pF =pG. f. sF +pG=pG. g. pF ◦sG=pF. h. pG◦sF =pG.

i. sG◦sF =−idE. j. pG◦pF = idE.

(6)

Soit F l’ensemble des applications paires deRdansR : ce sont les applications f telles que

∀x∈R, f(x) =f(−x).

Soit Gl’ensemble des applications impaires deR dansR: ce sont les applications f telles que

∀x∈R, f(x) =−f(−x). 1. Montrer queF etG sont des sous-espaces vectoriels deE=R^R. 2. Montrer queF ∩Gest r´eduit `a la fonction nulle.

3. Soit f une application de R dansR. On consid`ere les deux fonctions φ etψ, d´efinies pour tout x∈Rpar

φ(x) = f(x) +f(−x)

2 et ψ(x) = f(x)−f(−x)

2 .

Montrer queφ∈F,ψ∈Getf =φ+ψ.

4. En d´eduire queR^R=F ⊕G.

5. Soitpla projection surF parallèlement àGetsla symétrie par rapport àF parallèlement àG.

Calculer l’image parp etsdes fonctions suivantes.

x7→1 +x , x7→x²+ 2x³ , x7→e^x , x7→e^x+e⁻^2x