De mˆemeV admet pour coordonn´ees barycentriques (p−a,0, p−c)

Enonc´e n^oD1905 (Diophante) Dichotomies en s´erie

Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on m`ene les trois droites qui partagent le p´erim`etre du triangle en deux parties de mˆeme longueur.

D´emontrer qu’elles sont concourantes en un point J.

Q2 : On op`ere de la mˆeme mani`ere avec trois droites passant par les milieux des cˆot´es de ce mˆeme triangle. D´emontrer qu’elles sont concourantes en un point K.

Q3 : I ´etant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, d´emontrer que K est au milieu du segment IJ.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je note a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| les cˆot´es du triangle, et p le demi-p´erim`etre.

Question 1

Les droites sont AU, BV, CW avec U surBC,V surCA,W surAB.

On a |BU|=p−c,|U C|=p−b, etU admet pour coordonn´ees barycen- triques (0, p−b, p−c). De mˆemeV admet pour coordonn´ees barycentriques (p−a,0, p−c). L’intersection J de AU et BV admet pour coordonn´ees barycentriques (p−a, p−b, p−c). L’intersection de CJ et AB admet pour coordonn´ees barycentriques (p−a, p−b,0) et se confond avec W (v´erification ´equivalente au th´eor`eme de C´eva).

Les coordonn´ees normalis´ees (somme 1) deJsont (1−a/p,1−b/p,1−c/p), soit 3 fois les coordonn´ees normalis´ees du centre de gravit´eG(1/3,1/3,1/3) moins 2 fois les coordonn´ees normalis´ees deI(a/(2p), b/(2p), c/(2p)). Ainsi J est le transform´e de I par l’homoth´etie de centre G et de rapport −2.

C’est le centre du cercle inscrit au triangle transform´e de ABC par l’ho- moth´etie, ayant pour cˆot´es les parall`eles men´ees parA`aBC, parB `aCA, par C `a AB.

Question 2

Je noteA⁰, B⁰, C⁰ les pieds des m´edianes abaiss´ees deA, B, CetA⁰X,B⁰Y, C⁰Z les droites partageant le p´erim`etre en deux.

Supposonsb > c. AlorsX est surAC et mˆeme surAB⁰,|AX|= (b−c)/2,

|XB⁰|=c/2.

Soit Lle centre du parall´elogramme AB⁰A⁰C⁰ etN l’intersection deA⁰X etB⁰C⁰. La s´ecanteA⁰N X du triangleALB⁰ donne par M´en´ela¨us

N L N B⁰ ·XB⁰

XA ·A⁰A

A⁰L = N B⁰+N C⁰ 2N B⁰ · c

c−b·2 = 1.

d’o`u C<sup>0</sup>N/N B<sup>0</sup> qui est le rapport des aires des trianglesA<sup>0</sup>C<sup>0</sup>N etA<sup>0</sup>N B<sup>0</sup> est ´egal `ab/c=|A⁰C⁰|/|A⁰B⁰|. Ainsi les hauteurs abaiss´ees deN dans ces deux triangles sont ´egales, et A⁰N X est bissectrice int´erieure de l’angle B⁰A⁰C⁰. Mˆeme conclusion sic > b.

Les droites B⁰Y et C⁰Z ayant les propri´et´es analogues, les trois droites sont concourantes en K, centre du cercle inscrit du triangle A⁰B⁰C⁰. Ce triangle ´etant le transform´e de ABC par une homoth´etie de centre G et de rapport−1/2,K est transform´e de I par cette homoth´etie.

Question 3

Vectoriellement, avec une origine commune (arbitraire) des vecteurs, les questions 1 et 2 permettent d’´ecrire

J+ 2I = 3G=I+ 2K, d’o`u J+I = 2K, qui exprime que K est le milieu deIJ.

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