Dichotomies en série
D1905 de Diophante
Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J.
Q2 : On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point K.
Q3 : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, démontrer que K est au milieu du segment IJ.
Solution
Notons 2a, 2b et 2c les longueurs des côtés du triangle ABC et p = a + b + c.
Alors : VC = WB = p – 2a ; WA = UC = p – 2b ; UB = VA = p - 2c
D’après le théorème de Ceva(*)), il apparaît que les trois droites AU, BV et CW sont concourantes, en J.
I
J G K
A
B M C
P N
U
V W
R S
a
b c
Le point J est barycentre des trois points A, B, C, affectés des coefficients respectifs : b + c – a, c + a – b, a + b - c.
Ainsi, nous pouvons écrire : (a+b+c) J = (b+c-a) A + (c+a-b) B + (a+b-c) C
Par ailleurs, du fait que les bissectrices partagent les côtés opposés proportionnellement aux côtés adjacents, on a : (a+b+c) I = a A + b B + c C
En considérant le barycentre G qui satisfait la relation 3 G = A + B + C, il apparaît, en simplifiant par (a+b+c), que J = 3 G – 2 I. Il apparaît donc que, G est entre I et J, deux fois plus près de I que de J.
La bissectrice de l’angle NMP coupe AC en R et AB en S. Les deux triangles MPS et RAS sont isocèles. Ainsi MP = PS = b et RA = SA = b – c. Donc RN = c et R est le point "opposé" de M, sur le pourtour du triangle ABC. Autrement dit, la droite qui joint M à son "opposé", sur le pourtour du triangle ABC, est la bissectrice de l’angle NMP.
Il en va de même pour les droites joignant N et P à leurs "opposés" respectifs, sur le pourtour du triangle ABC. Ces trois droites concourent au point K, qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle MNP.
Ce point K est l’image de I dans l’homothétie, de centre G, de rapport – 1/2, qui envoie le triangle ABC sur le triangle MNP. Donc 3 G = 2 K + I.
Enfin, en éliminant G, il vient 2 K = I + J, qui signifie que K est le milieu de IJ.
(*) Rappel du Théorème de Ceva
Les droites AU, BV, CW sont
concourantes ou parallèles, si et seulement si on a :
UB . VC . WA UC . VA . WB
= - 1
A
B U C
V W
