D1905. Dichotomies en série
Louis ROGLIANO
Q1: A partir des sommets d’un triangleABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un pointJ.
Q2: On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle.
Démontrer qu’elles sont concourantes en un pointK.
Q3:Iétant le centre du cercle inscrit dans le triangleABC, démontrer queKest au milieu du segment[IJ].
Nous supposeronsa≤b≤c.
Question1: Voir figure1. Les conditions du problème permettent d’écrire:
c+x=b+a−x⇐⇒x= a+b−c 2 a+y=c+b−y⇐⇒y= −a+b+c
2 b+z =a+c−z ⇐⇒z = a−b+c
2 Nous avons alors: M C
M B ×P B
P A × N A
N C = a−x
x × c−z
z × b−y y =−1
Le théorème de Ceva entraîne que les trois droites sont concourantes en un pointJ. Le calcul des coordonnées barycentriques deJ rapportées au triangleABC donne : J
(−a+b+c
a+b+c ,a−b+c
a+b+c,a+b−c a+b+c )
Question2: Voir figure2. Les conditions du problème permettent d’écrire:
c−x=b+x⇐⇒x= −b+c 2 a+y=c−y⇐⇒y= −a+c
2 a+z =b−z ⇐⇒z = −a+b
2
En notantK1le point d’intersection des droites(M a)et(N b)puisK2le point d’intersection des droites (M a)et(P c), le calcul des coordonnées barycentriques deK1etK2dans le triangleABC donne le même résultat. Les trois droites se coupent donc enK et nous avons :
K
( b+c
2(a+b+c), a+c
2(a+b+c), a+b 2(a+b+c)
)
1
Question3: Les coordonnées barycentriques du pointI centre du cercle inscrit au triangleABCsont:
I(a, b, c). On vérifie alors que I+J
2 =K. Kest bien le milieu du segment[IJ]
2
