D1905. Dichotomies en série
Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J.
Q2 : On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle.Démontrer qu’elles sont concourantes en un point K.
Q3 : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, démontrer que K est au milieu du segment IJ.
Solution proposée par Maurice Bauval
Les longueurs des côtés AB,BC,CA du triangle sont désignées par c,a,b. Le demi périmètre par p.
On suppose a > b > c
Q1 : Soit P le point situé sur BC et tel que AB + BP = AC + CP = p.
BP – CP = b – c et BP + CP = a donc BP = (a+b-c)/2 = p-c et CP = (a-b+c)/2 = p-b.
P est donc barycentre de B affecté de p-b et C affecté de p-c.
Soit J le barycentre de A(p-a), B(p-b), C(p-c), J appartient à la droite AP ainsi qu’aux deux autres droites analogues issues des sommets B et C.
Q2 Par le milieu de BC on mène la parallèle à la bissectrice de l’angle BAC. Les points C et B se projettent orthogonalement sur en E et F. La droite coupe AC en G et la droite BA en H.
Les triangles rectangles CEG et BFH ont les côtés CE et BF égaux et les angles CGE et BHF égaux.
Donc CG = BH. D’autre part H et G sont symétriques par rapport à la bissectrice extérieure de BAC, donc AH = AG. Il en résulte CG = BA + AG. La droite partage le périmètre du triangle en deux parties de même longueur.
Le petit triangle A’B’C’dont les sommets sont les milieux des côtés BC, CA, AB , (qu’on peut aussi définir comme image de ABC par l’homothétie de rapport –1/2 ayant pour centre le centre de gravité du triangle ABC ) a des côtés parallèles à ceux du triangle ABC, donc est bissectrice de B’A’C’. Les 3 bissectrices intérieures des angles B’A’C’, A’C’B’ et C’B’A’ sont concourantes au point K qui est donc le centre du cercle inscrit dans le triangle A’B’C’.
Q3 : O étant une origine quelconque, les calculs barycentriques donnent :
OI = ( aOA + bOB + cOC )/ (2p) OJ = [( b+c-a)OA + (c+a-b)OB + (a+b-c)OC ]/(2p) OI + OJ = [(b+c)OA + (c+a)OB + (a+b)OC ]/(2p)
OK = [a(OB+OC)/2 + b(OC+OA)/2 + c(OA+OB)/2 ]/(2p) = [(b+c)OA + (c+a)OB + (a+b)OC ]/(4p) OI + OJ = 2OK donc K est milieu de IJ.
