D1905. Dichotomies en série
Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même
longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J.
Q2 : On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point K.
Q3 : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, démontrer que K est au milieu du segment IJ.
Solution proposée par Antoine Vanney
Q1
Soit A’ sur BC tel que AB+BA’ = AC+CA’.
De même on définit B’ et C’ et J l’intersection de AA’ et BB’.
Soit a=BC’, b=AC’ et c=AB’
Puisque AC’+AC=1/2 périmètre = AC+A’C => AC’=A’C=b
De même on montre que BC’=B’C=a et AB’=A’B=c A’ est alors le barycentre de B affecté du poids b et C affecté du poids c. Même raisonnement pour B’ et C’.
Donc J est le barycentre de A(a), B(b) et C(c) et les trois droites sont concourantes en J.
Q2
Avec b>c>a
AA"=(b-c)/2 ; BB"=(c-a)/2 et CC"=(b-a)/2
Donc A" est le barycentre de A(a+(b+c)/2) et B((b-c)/2). De même B" est le barycentre de B(b+(a+c)/2) et C((c-a)/2)
L’intersection K des 2 droites A"mil(BC) et B"mil(AC) est le barycentre de mil(BC)(c+(a+b)/2) et A"(a+b)
K est donc le barycentre de A(a+(b+c)/2), B(b+(a+c)/2) et C(c+(a+b)/2).
On vérifie sans difficulté que ce point appartient à C"mil’(AB)
K est le barycentre des points A((AB+AC)/2), B((BC+BA)/2) et C((CA+CB)/2), donc les 3 droites sont concourantes en K
Q3
Par définition de J et K : (a) (a+b+c)IJ=aIA+bIB+cIC
(b) 2(a+b+c)IK = (a+(b+c)/2)IA+(b+(c+a)/2)IB+(c+(a+b)/2)IC
I étant le centre du cercle inscrit, I est le barycentre des points A(b+c), B(a+c) et C(a+b) (c) (b+c)IA+(a+c)IB+(a+b)IC=0
(b) s’écrit aussi : 2(a+b+c)IK=(a+b+c)IJ+[(b+c)IA+(c+a)IB+(a+b)IC]/2=(a+b+c)IJ Donc 2.IK=IJ
Et K est le milieu de IJ
A
C B
a a
c b
b A’ c
C’
B’
J I K
C" B"
A"
