D1905 : Dichotomies en séries
Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J.
Q2 : On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle.Démontrer qu’elles sont concourantes en un point K.
Q3 : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, démontrer que K est au milieu du segment IJ.
Q1 : Si a, b, c désignent les longueurs des cotés, et p le demi-périmètre, la droite partant du sommet A passe par le point qui divise BC dans le rapport (p-c)/(p-b); celle partant de B divise CA dans le rapport (p-a)/(p-c) et celle partant de C divise AB dans le rapport (p-b)/(p-a). Le produit de ces rapport étant égal à 1 ces droites sont
concourantes, d’après le théorème de Ceva, en un point J, barycentre des points A, B, C affectés des coefficients (p-a, p-b, p-c) ou encore J=(1-a/p)A+(1-b/p)B+(1-c/p)C Q2 : Supposons a≥b≥c. Soient A’, B’, C’ les milieux des cotés BC, CA, AB, et G le centre de gravité du triangle ABC ; A’B’C’ est l’image de ABC dans l’homothétie de centre G et de rapport -1/2. La droite issue de A’, divisant en deux le périmètre, passe par le point M’ entre A et C, tel que CM’=(b+c)/2, A’M’ étant l’image dans cette homothétie d’une droite parallèle passant par A, et par M, entre B et C avec
MC=ab/(b+c), donc qui divise BC dans le rapport c/b. De même, les droite issues de B’ et C’ sont les images de droites issues de B et C divisant les cotés opposés dans les rapports a/c et b/a: ces droites sont donc concourantes en I, centre du cercle inscrit, avec I=(a/2p)A+(b/2p)B+(c/2p)C. Les images, droites issues de A’, B’, C’ sont donc concourantes en un point K, et on a I+2K=3G, donc
K=(1/2-a/4p)A+(1/2-b/4p)B+(1/2-c/4p)C.
Q3 : On vérifie que 2K=I+J, donc K est le milieu de IJ.
