D142. A la recherche de droites concourantes

D142. A la recherche de droites concourantes

Dans un triangle scalène ABC, on trace les droites qui joignent les sommets aux points qui partagent le côté opposé en n segments de même longueur. Quelle est la plus petite valeur impaire de n telle qu'il existe au moins trois droites concourantes issues respectivement des sommets A, B et C.

Pour cette valeur de n = 2k + 1, le polygone délimité par les six droites issues des trois sommets et passant par les extrémités du (k+1)^ième segment du côté opposé a une aire égale à 1. Quelle est la dimension de la hauteur issue du sommet A sachant que BC = 23?

Source : d'après Leslie Reid (université du Missouri) et la Jaune et la Rouge (juin-juillet 2009)

1)

Soient (0, 0), (, ) (, 0) les sommets du triangle et leurs coordonnées

Soient , , (0 ≤ , , ≤ ) les points qui partagent les cotés opposés à , , en segments égaux (avec = , = et = , = et = , = )

Les coordonnées des points , , sont : : + −

, −

: −

, 0! : ,

Et les droites , et ont pour équation :

"#$ ∶ & = ( − ) + ( − ) '

"#$ ∶ & =

− ( − ) ' − ( − ) − ( − )

"#$ ∶ & =

− x −

−

Les abscisses des intersections ∩ ∩ sont

∩ ∶ '*= − − ( − ) + ( − ) ∩ ∶ '+= + ( − )

⁺− ( − ) Les droites , et sont concourantes si '*= '+ d’où :

= −

⁺− ( + ) + 2 = −

⁺− ( + ) + 2 = −

⁺− ( + ) + 2 On fait alors appel à la calculatrice qui donne = 15 et, en prime, les 6 groupes de 3 droites concourantes

15 3 10 10

15 5 5 12

15 5 12 5

15 10 3 10

15 10 10 3

15 12 5 5

2)

= 2k + 1 valant 15 les (k+1)^ième segment sont délimités par les points _{0 et 1}, 0 et 1 , 0 et 1. Les équations des droites ayant été déterminées préalablement, on calcule les coordonnées des points d’intersection, sommets du polygone.

droite équation ^droite équation ^{abscisse ordonnée}

0 & = 8

7 + 8 ' ¹ & = 15

15 − 7 ' − 7

15 − 7 ^{4 8 + 723 823}

1 & = 15

15 − 7 ' − 7

15 − 7 ^{0 & =7 − 15 x −7 7 − 157 6 7 + 722 722}

1 & = 7

8 + 7 ' ^{0 & =7 − 15 x −7 7 − 157 7 7 + 823 723}

1 & = 7

8 + 7 ' ⁰ & = 15

15 − 8 ' − 8

15 − 8 ^{8 7 + 822 722}

0 & = 15

15 − 8 ' − 8

15 − 8 ^{1 & =8 − 15 x −8 8 − 158 9 8 + 823 823}

0 & = 8

7 + 8 ' ^{1 & =8 − 15 x −8 8 − 158 : 8 + 722 822}

On calcule ensuite les longueurs des différents segments :

segment formule valeur

:4;;; _{<8 + 7}

23 −8 + 7 22

++ 8 23 −8

22

+ 1

506 >64⁺+ (8 + 7)⁺ 46;;;; _{<7 + 7}

22 −8 + 7 23

++ 7 22 −8

23

+ 1

506 >225⁺+ (15 − 7)⁺ 67;;;; _{<7 + 8}

23 −7 + 7 22

++ 7 23 −7

22

+ 1

506 >49⁺+ (7 − 15)⁺ 78;;;; _{<7 + 8}

22 −7 + 8 23

++ 7 22 −7

23

+ 1

506 >49⁺+ (7 + 8)⁺ 89;;;; _{<8 + 8}

23 −7 + 8 22

++ 8 23 −7

22

+ 1

506 >225⁺+ (15 − 8)⁺ 9:;;;; _{<8 + 7}

22 −8 + 8 23

++ 8 22 −8

23

+ 1

506 >64⁺+ (8 − 15)⁺ 6:;;; _{<8 + 7}

22 −7 + 7 22

++ 8 22 −7

22

+ 1

22>⁺+ ⁺ :7;;; _{<7 + 8}

23 −8 + 7 22

++ 7 23 −8

22

+ 15

506 >4⁺+ (−2 + )⁺ 79;;;; _{<8 + 8}

23 −7 + 8 23

++ 8 23 −7

23

+ 1

23>⁺+ ⁺

On calcule la surface des triangles élémentaires en utilisant la formule (ou ', & A sont les cotés du triangle) 16⁺ = (' + & + A)(−' + & + A)(' − & + A)(' + & − A)

' & A #

:46 >64⁺+ (8 + 7)⁺

506 >225⁺+ (15 − 7)⁺

506 √⁺+ ⁺

22

222647bc

6:7 √⁺+ ⁺

22

15

506 >4⁺+ (−2 + )⁺ >49⁺+ (7 − 15)⁺ 506

15bc 22264

:79 15

506 >4⁺+ (−2 + )⁺ √⁺+ ⁺

23 >64⁺+ (8 − 15)⁺ 506

2327615bc

798 √⁺+ ⁺

23 >225⁺+ (15 − 8)⁺

506 >49⁺+ (7 + 8)⁺ 506

2bc 5819

E$F&G$ :46789

506

Pour ne pas reprendre la codification des points , et , on assimile le point de l’énoncé au point de la solution.

;;;; = = 23 H ^{= 23}

506= 1 I ⇒ = 22 = mesure de la hauteur issue du sommet