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D1905. Dichotomies en série

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Academic year: 2022

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D1905. Dichotomies en série

Q1 : A partir des sommets d’un triangle ABC, on mène les trois droites qui partagent le périmètre du triangle en deux parties de même longueur. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point J.

Q2 : On opère de la même manière avec trois droites passant par les milieux des côtés de ce même triangle. Démontrer qu’elles sont concourantes en un point K.

Q3 : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC, démontrer que K est au milieu du segment IJ.

Solution proposée par Pierre Gineste

Q1. Soit le triangle ABC, AB=c BC=a CA=b avec a<b<c

Soient les grandeurs R1=(-a+b+c)/2 R2=(a-b+c)/2 R3=(a+b-c)/2 (ce sont les rayons des cercles de centres A, B, C et tangents 2 à 2)/

Soient les points P, Q et R, respectivement sur BC, CA et AB.

Le périmètre du triangle ABC: l=(a+b+c)= 2(R1+R2+R3)= 2L On a : BR=CQ=R1 CP=AR=R2 AQ=BP=R3

Donc: (BP/CP)*(CQ/AQ)*(AR/BR)=(R3/R2)*(R1/R3)*(R2/R1)=1 ==> les 3 droites AP, BQ, CR sont concourantes en un point J.

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