D1905 - Dichotomies en série Solution proposée par Michel Vanel
Comme le montre la figure 1 ci-après, le point K est le centre du cercle inscrit dans le triangle médial dont les sommets sont les milieux A’, B’, C’ des côtés du triangle ABC.
Le triangle A’B’C’ se déduit du triangle ABC par une homothétie de centre G et de rapport - 1/2 (G barycentre du triangle). Les points I, G, K sont alignés.
La Fig 2 ci-après montre le triangle ABC avec le cercle inscrit de centre I et le cercle exinscrit relatif à l’angle A, de centre O, tangent à BC en E et à AC en F. Si l’on désigne par p le demi- périmètre on a AF=p et comme CE=CF la droite AE divise le périmètre de ABC
(2p=2a+2b+2c) en deux valeurs égales. Il est aisé de vérifier en appliquant le théorème de CEVA que les trois droites sont concourantes en un point J qui est en réalité le point de Nagel.
Le cercle inscrit se déduit du cercle exinscrit par une homothétie de centre A. Au point E correspond sur le cercle inscrit le point L diamétralement opposé au point de tangence M à BC. Par ailleurs, BM=CE=p-b. Donc A’ est milieu de ME.
Considérons le triangle LME. A’I est // à PE donc à AE. Le point I ainsi défini par rapport au triangle A’B’C’ a pour homologue dans le triangle ABC le point J. Ces deux points sont reliés par une homothétie de centre G et de rapport -2.
En conclusion les points I,G,K,J sont alignés : GK=-1/2 GI, donc IK=-3/2 GI.
GJ=-2 GI, donc IJ=-3 GI
Ce qui prouve que K est milieu de IJ.
