G271 – Machines à sous
Le mode de fonctionnement des machines à sous du casino de Diophantopolis est très simple.
Après avoir introduit une mise de 3€, le joueur appuie sur deux touches qui lui permettent de choisir respectivement un entier n compris entre 3 et 10 et un entier d inférieur ou égal à n. La machine affiche alors un nombre entier aléatoire qui comporte n chiffres et ne commence jamais par un zéro. Le joueur gagne la partie si le nombre contient exactement d chiffres distincts et récupère alors une certaine somme s en €.
Q₁ Pour commencer le joueur A choisit avec sa machine les options n₁ = 4 et d₁ = 4. À chaque gain, il récupère s = 6€. Le joueur B de son côté choisit avec sa machine un certain entier n₂ et d₂
= n₂. En cas de gain, il récupère s =10€. Enfin le joueur C choisit avec sa machine un certain entier n₃ et d₃ = n₃. En cas de gain, il récupère un jackpot s de 50€. Les espérances de gain/perte des trois amis sont identiques. À l'issue de 100 parties, quelles sont leurs probabilités respectives de ne pas perdre d'argent?
Q₂ Ensuite A choisit avec sa machine les options : n₁ = 6 et d₁ = 4, B: n₂ = 7 et d₂ = 6 et C : n₃ = 8 et d₃ = 5. À chaque gain, chacun récupère la même somme s = 9€. À l'issue de 100 parties, quel est celui qui a le plus de chances de ne pas perdre d'argent?
Solution par Patrick Gordon Q₁
Nous allons exprimer les espérances de gain pi si et écrire qu'elles sont égales. Soit 2 équations.
Les si sont connus. L'un des pi est calculable numériquement. Un autre est calculable en fonction d'un paramètre. Le troisième est inconnu. Soit 2 inconnues.
Le joueur A choisit les options n₁ = 4 et d₁ = 4.
Sa probabilité de gain est celle d'avoir 4 chiffres distincts sur 4 ne commençant pas par un zéro.
Les nombres de 4 chiffres ne commençant pas par un zéro sont au nombre de 9000.
Les nombres de 4 chiffres distincts ne commençant pas par un zéro sont au nombre de : 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
La probabilité de gain de A est donc p1 = 4536 / 9000 = 0,504.
La probabilité p2 de gain de B est provisoirement inconnue.
Le joueur C choisit les options n3 = d3 = n ≤ 10 (car il ne peut pas y avoir plus de 10 chiffres distincts).
Sa probabilité de gain se calcule comme celle de A avec n remplaçant 4.
Les nombres de n chiffres ne commençant pas par un zéro sont au nombre de 9 10n-1.
Les nombres de n chiffres distincts ne commençant pas par un zéro sont au nombre de : 9 × 9 × 8 × 7 … (n termes)
soit :
9 × 9! / (10 – n)!
La probabilité de gain de C est donc : p3 = 9! / 10n-1 (10 – n)!
L'égalité des espérances de gain s'écrit donc : 6 p1 = 10 p2 = 50 p3
soit :
6 × 0,504 = 10 p2 = 50 × 9! / 10n-1 (10 – n)!
Il y a bien 2 équations aux 2 inconnues p2 et n.
En égalant le 1er et le 3ème terme, il vient : n = 7; p3 =0,06048,
d'où :
p2 = 5 p3 = 0,3024 Récapitulation
i pi si pi si
1 0,504 6 3,024 2 0,3024 10 3,024 3 0,06048 50 3,024
À noter qu'on aurait pu tout aussi bien ci-dessus écrire : 6 × 0,504 = 10 p2 = 50 × p3
et résoudre directement en p2 et p3, auquel car la donnée que le joueur C choisit avec sa machine un certain entier n₃ et d₃ = n₃ s'avérerait inutile, sauf à vouloir calculer n₃ et d₃, ce que l'énoncé ne demande pas (ou sauf à préparer les calculs de la Q2).
En espérance mathématique, aucun des joueurs n'est perdant puisque chaque partie ne coûte qu'une mise de 3€, à comparer à 3,024€.
L'énoncé ne faisant état d'aucune limitation à l'encaisse initiale des joueurs, la question des probabilités respectives de ne pas perdre d'argent à l'issue de 100 parties ne renvoie pas à la notion de probabilité de ruine.
Toutefois, leurs situations sont différentes. Jouer 100 parties coûte 300€. Pour ne pas perdre d'argent, A doit gagner au moins 50 fois, B au moins 30 fois, C au moins 6 fois.
La loi binomiale s'applique ici et donne les résultats suivants :
p
plus de
… fois
probabillité cumulée
A 0,504 49 0,57146992
B 0,3024 29 0,55839608 C 0,06048 5 0,56722684 Q2
Il nous faut cette fois calculer une formule générale de la probabilité de gain p, avec n (compris entre 3 et 10) et d (≤ n) quelconques.
Les nombres de n chiffres ne commençant pas par un zéro sont toujours au nombre de 9 10n-1. Le dénombrement des nombres de n chiffres ne commençant pas par un zéro et comportant d chiffres distincts est délicat et nous commencerons par deux exemples (n = 3 et n = 4).
Cas de n = 3
pour n = 3, d = 1
Il n'y a que les nombres 111, 222… 999. Donc : N(3,1) = 9
pour n = 3, d = 2
Les 2 sortes de chiffres a et b se répartissent nécessairement en 1 + 2, soit trois possibilités : aab
aba abb
Dans chacune de ces 3 configurations, le premier chiffre a 9 possibilités (0 exclu) et l'autre 9 également (0 permis mais un chiffre déjà pris), donc :
N(3,2) = 9 × 9 × 3 = 243
pour n = 3, d = 3
Les 3 chiffres sont tous différents entre eux et le premier est différent de 0.
Il y a une seule configuration. Le premier chiffre a 9 possibilités (0 exclu) le second également 9 également (0 permis mais un chiffre déjà pris), le troisième 8 (0 permis mais deux chiffres déjà pris), donc :
N(3,3) = 9 × 9 × 8 = 648
Récapitulation
d N(3,d)
1 9
2 243
3 648
total 900
La somme des N(3,d) de d = 1 à 3 vaut bien 900.
Cas de n = 4
pour n = 4, d = 1
Il n'y a que les nombres 1111, 2222… 9999. Donc : N(4,1) = 9
pour n = 4, d = 2
Les 2 sortes de chiffres a et b se répartissent en 1 + 3 ou 2 + 2, soit respectivement : abbb
babb bbab bbba aabb abab abba
Dans chacune de ces 7 configurations, le premier chiffre a 9 possibilités (0 exclu) et l'autre 9 également (0 permis mais un chiffre déjà pris), donc :
N(4,2) = 9 × 9 × 7 = 567
pour n = 4, d = 3
Un des chiffres, soit a, est redoublé (donc C42
= 6 configurations) et les deux autres, soit b et c, sont différents de a et différents entre eux.
Dans chacune de ces 6 configurations, le premier chiffre a 9 possibilités (0 exclu) le second également 9 également (0 permis mais un chiffre déjà pris) et le troisième 8 (0 permis mais deux chiffres déjà pris), donc :
N(4,3) = 9 × 9 × 8 × 6 = 3888
pour n = 4, d = 4
Les 4 chiffres sont tous différents entre eux et le premier est différent de 0.
Il y a une seule configuration. Le premier chiffre a 9 possibilités (0 exclu) le second également 9 également (0 permis mais un chiffre déjà pris), le troisième 8 (0 permis mais deux chiffres déjà pris), le quatrième 7, donc :
N(4,4) = 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
Récapitulation
d N(4,d)
1 9
2 567
3 3 888
4 4 536
total 9 000
La somme des N(4,d) de d = 1 à 4 vaut bien 9000.
Généralisation (n et d quelconques)
On remarque que :
9 N(3,1) + 2 N(3,2) = 9 × 9 + 2 × 243 = 567 = N(4,2) 8 N(3,2) + 3 N(3,3) = 8 × 243 + 3 × 648 = 3 888 = N(4,3) D'où l'idée d'une récurrence qui s'écrirait :
1) N(n,d) = (11–d) N(n–1,d–1) + d N(n–1,d).
À noter que, dans le cas particulier de d = n, le terme N(n–1,d) est nul et (1) se réduit à : N(n,n) = (11–n) N(n–1,n–1)
et l'on retrouve, de proche en proche, les valeurs trouvées à la Q1 pour les cas de d = n = 4 et d = n = 7.
La récurrence exprimée par l'équation (1) peut se démontrer comme suit.
Par commodité, nous dirons qu'un nombre de n chiffres, dont d distincts, et ne commençant pas par un zéro est un "nombre [n,d]".
Si l'on supprime le dernier chiffre d'un nombre [n,d], il devient nécessairement soit un nombre [n-1,d-1] soit un nombre [n-1,d]. En d'autres termes, tout nombre [n,d] ne peut être constitué que par l'adjonction d'un chiffre à la droite d'un nombre [n-1,d-1] ou d'un nombre [n-1,d].
Dans le premier cas, cela ne peut être fait que par l'adjonction d'un chiffre autre que les (d-1) chiffres distincts du nombre [n-1,d-1], donc de 10 – (d-1) = (11–d) manières et les (11–d) nombres obtenus sont tous différents.
Dans le second cas, cela ne peut être fait que par l'adjonction d'un des d chiffres distincts du nombre [n-1,d] et les d nombres obtenus sont tous différents.
La récurrence exprimée par l'équation (1) est donc établie dans le cas général de n et d (≤ n) quelconques.
Reste à passer aux probabilités. À cette fin, rappelons que, quels que soient n et d : p(n,d) = N(n,d) / 9 10n-1.
La relation (1) se réécrit donc :
2) p(n,d) = [(11–d) p(n–1,d–1) + d p(n–1,d)] / 10.
Pour calculer les probabilités de gain de A, B et C, il suffit de dresser une table des p(n,d) couvrant au moins les valeurs n = 6 à 8 et d = 4 à 6.
Le calcul se fait par récurrence à partir des N(4,d) trouvés ci-dessus, d'où les p(4,d), et du fait que, pour tout n, p(n,1) = 1 / 10n-1.
Dans la table ci-après, les valeurs des probabilités de gain de A, B et C sont surlignées.
d 1 2 3 4 5 6
n
4 0,001 0,063 0,432 0,504
5 0,0001 0,0135 0,18 0,504 0,3024
6 0,00001 0,00279 0,0648 0,3276 0,4536 0,1512
7 0,000001 0,000567 0,021672 0,1764 0,42336 0,31752 8 0,0000001 0,0001143 0,0069552 0,0857304 0,31752 0,402192
Comme, à chaque gain, chacun des 3 joueurs récupère la même somme s = 9€, que chaque partie coûte 3€ et qu'aucune des trois probabilités de gain n'est supérieure à 3/9 = 1/3, ils sont tous trois perdants en espérance de gain.
Toutefois celui qui, à l'issue de 100 parties, a le plus de chances de ne pas perdre d'argent (on devrait dire : le moins de chances d'en perdre) est celui qui a la plus forte probabilité de gain à chaque partie, c’est-à-dire A.