Enoncé G141 (Diophante) Le choix du bon numéro
Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs. Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers . Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En fait, la déclaration imposée à Zig est “N est le nombre sur la dernière carte tirée”, et le seul choix laissé à Zig est celui du moment où il met fin au tirage.
Zig ne va pas arrêter le tirage quand le nombre qu’il vient de découvrir est inférieur à un nombre déjà tiré ; il risque d’arrêter trop tôt,N pouvant n’apparaître que vers la fin du tirage, ou d’arrêter trop tard, aucun nombre n’étant supérieur aux précédents carN est déjà sorti. Une stratégie adap- tée à cette situation d’incertitude est “je laisse passerd desn= 8 cartes, puis j’arrête dès que sort un nombre supérieur à ceux déjà sortis”. Il s’agit de déterminer le meilleurd.
Soit r le rang réel de N; à r fixé, la probabilité que Zig le découvre est d/(r−1) : probabilité que le plus grand desr−1 premiers nombres tirés se situe parmi lesdpremiers.
Maisr peut avoir une valeur quelconque, de 1 àn, avec la probabilité 1/n pour chacune. La probabilité de succès de Zig estp(d) = d
n
n
X
r=d+1
1 r−1. Pour n = 8 et d = 1 à 7, cette probabilité multipliée par 3360 vaut respectivement 1099, 1358, 1377, 1236, 1070, 780, 420. Le meilleur choix estd= 3 (probabilité 1377/3360 = 0,409821. . ., maisd= 2 procure aussi une probabilité>0,4 = 1344/3360.
Pour n grand, la somme (n/d)p(d) est proche de ln(n/d). L’optimum de p(d) est obtenu pour d voisin de n/e, et p(d) est alors voisin de 1/e = 0,367879. . ..
Si par exemple n = 2016, un petit programme donne d = 741 comme optimum, selon le tableau
d 740 741 742
p(d) 0,368035562 0,368036205 0,368036179
d
nln2n−12d−1 0,368035586 0,368036230 0,368036204
dont la dernière ligne montre une bonne approximation (erreur 0,1/n2par excès) par une formule simple.
