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Calculer le nombre minimal et le nombre maximal d’individus âgés de plus de 40 ans dans cette population

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Academic year: 2022

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(1)

Mathématiques Seconde : Statistiques

Thèmes

Exercices de base

Ex.B1 : Pourcentages, évolutions Ex.B2 : Propriétés de la moyenne

Ex.B3 : Comparaison de séries statistiques Exercices d’approfondissement

Ex.A1 : Médianes et quartiles Ex.A2 : Regroupements par classe

Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .

On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :

Énoncés

Exercices de base Ex.B1

1. Choisir trois entiers tels que et .

Soit , , , et . Préciser , , , et .

a) Dans une population de individus, on dénombre hommes.

Calculer le pourcentage, arrondi au centième, d’hommes dans la population .

b) Dans la population , le pourcentage d’individus âgés de plus de 40 ans, arrondi à l’unité, est de %.

Calculer le nombre minimal et le nombre maximal d’individus âgés de plus de 40 ans dans cette population.

c) La population est incluse dans une autre population et représente % (arrondi à l’unité) de cette dernière.

Calculer le nombre minimal et le nombre maximal d’individus dans la population .

d) Dans la population , on considère une population qui représente un pourcentage, arrondi à l’unité, de %. Soit le pourcentage, arrondi à l’unité, d’individus de dans .

Calculer les valeurs possibles de .

2. Choisir trois entiers tels que et . On pourra donner toutes les réponses de cet exercice dans un tableau.

a) Donner le coefficient multiplicateur correspondant à chacune des évolutions suivantes : i) augmentation de % ii) augmentation de % iii) augmentation de % iv) diminution de % v) diminution de % vi) diminution de %

b) Un article coûte €.

Dans chacun des six cas précédents, donner le prix de l’article après l’évolution indiquée (arrondir au centime).

c) Un article coûte € (arrondi à l’unité) après une évolution.

Dans chacun des six cas de la question a), donner le prix maximal de l’article avant l’évolution indiquée.

(2)

3. Choisir trois entiers tels que et . On pose et .

a) Calculer le pourcentage d’évolution (arrondi au centième) d’un article dont le prix passe de à euros.

b) Calculer le pourcentage d’évolution (arrondi au centième) d’un article dont le prix passe de à euros.

4. Choisir trois entiers tels que et .

a) Déterminer l’évolution correspondant à chacun des coefficients multiplicateurs suivants : i) ii) iii) iv) v) vi) . b) Déterminer le pourcentage d’évolution (arrondi au centième) correspondant à deux augmentations successives de %.

c) Déterminer le pourcentage d’augmentation (arrondi au centième) qui doit suivre une diminution de % pour qu’au total l’évolution soit nulle.

Ex.B2

1. Choisir trois entiers tels que et .

Soit et les moyennes respectives de mathématiques d’un groupe de élèves et d’un autre groupe de élèves. On note et leurs valeurs arrondies au dixième. On note aussi la moyenne des notes de l’ensemble des deux groupes et sa valeur arrondie au dixième.

a) Dans cette question on suppose que et . Calculer et .

b) Dans cette question, on suppose que et . On suppose que toutes les notes des élèves sont des multiples de .

On note et la somme des notes de chacun des deux groupes d’élèves.

Donner les valeurs minimales et maximales de et puis en déduire les valeurs minimales et maximales de et de .

c) Dans cette question, on suppose que et que la moyenne d’un troisième groupe d’élèves est .

Calculer le nombre maximal d’élèves de ce groupe pour que la moyenne de l’ensemble des élèves des trois groupes soit supérieure ou égale à .

2. Choisir trois entiers tels que et .

La moyenne d’une série statistique dont les valeurs sont des entiers est . a) On pose . Calculer la moyenne de la série .

b) Déterminer, en fonction des valeurs , des valeurs entières de sorte que la série ait pour moyenne .

Ex.B3

1. Choisir trois entiers tels que et .

On considère les trois fonctions dont le code Python est donné ci-dessous. Les deux premières renvoient respectivement la moyenne et l’écart-type d’une série statistique (arrondis au centième).

def moyenne(x,n):

X=0 N=0

for i in range(len(x)):

X+=n[i]*x[i]

N+=n[i]

return round(X/N,2)

def écartType(x,n):

S=0 N=0

m=moyenne(x,n)

for i in range(len(x)):

S+=n[i]*(x[i]-m)**2 N+=n[i]

return round(sqrt(S/N),2) (importer sqrt depuis le module math)

(3)

def prop(x,n):

N=0 X=0

m=moyenne(x,n) s=écartType(x,n)

for i in range(len(x)):

if m-2*s<=x[i] and x[i]<=m+2*s:

X+=n[i]

N+=n[i]

return round(X/N,2)

a) Ces fonctions prennent deux arguments x et n qu’on appelle des listes et qui représentent respectivement les valeurs et les effectifs d’une série statistique.

En examinant le code de la fonction moyenne, indiquer comment est codé chaque terme de la liste x et dire ce que représente len(x).

b) Expliquer pourquoi, dans les trois codes, N est l’effectif total de la série statistique

c) En examinant le code de la fonction écartType, écrire la formule qui permet de calculer l’écart- type d’une série statistique . Dire ce qu’il représente concrètement.

d) Préciser ce que renvoie la fonction prop par rapport à la série . e) Le code qui permet de déclarer une liste x est x=[].

On peut ensuite lui affecter des valeurs en les ajoutant au fur et à mesure comme ci-dessous :

x=[]

x+=[5]

x+=[2]

Sur cet exemple, la liste obtenue est [5,2].

Écrire le code qui permet de déclarer deux listes x et n puis celui qui permet d’affecter tous les entiers entre et inclus à x et des entiers aléatoires entre et inclus à n de sorte qu’ils représentent les effectifs d’une série statistique associés aux valeurs de la liste x.

e) Écrire le code qui permet d’afficher les listes x et n et les résultats renvoyés par les trois fonctions de l’énoncé sur ces listes.

Exécuter ce code et donner le tableau statistique correspondant obtenu ainsi que les résultats renvoyés par les trois fonctions.

2. Choisir trois entiers tels que et . On considère les deux séries statistiques suivantes :

Série 1 : Valeurs

Effectifs

Série 2 : Valeurs

Effectifs

a) À l’aide de la calculatrice, donner la moyenne , la médiane , l’écart interquartile et l’écart-type de la série 1 (arrondir au centième).

b) Donner, de même, la moyenne , la médiane , l’écart interquartile et l’écart-type de la série 2 (arrondir au centième).

c) Décrire les différences entre les deux séries en s’appuyant sur les indicateurs précédents.

Exercices d’approfondissement Ex.A1

1. On considère une série statistique d’effectif total .

On rappelle qu’une médiane de la série est un réel tel que le nombre de valeurs inférieures ou égales à et le nombre de valeurs supérieures ou égales à soient supérieurs ou égaux à . a) Donner une définition analogue pour un premier quartile avec un quart de l’effectif total.

On dispose de même d’un troisième quartile avec trois quarts de l’effectif total.

(4)

b) Démontrer que la plus petite valeur de la série statistique telle que le nombre de valeurs inférieures ou égales à soit supérieur ou égal à est une médiane.

Énoncer une propriété analogue pour un premier quartile.

c) On note les valeurs (égales ou non) rangées dans l’ordre croissant et on choisit la valeur définie dans la question b) pour médiane et de même pour les quartiles.

Compléter le tableau suivant en précisant et en fonction des dans les cas et ( ) :

d) On considère la fonction medQuart dont le code Python est donné ci-desous : def medQuart(x,n):

N=0

for i in range(len(n)):

N+=n[i]

i=0

p=n[0]

while p<N/4:

i+=1 p+=n[i]

Q1=x[i]

while p<N/2:

i+=1 p+=n[i]

M=x[i]

while p<3*N/4:

i+=1 p+=n[i]

Q3=x[i]

return Q1,M,Q3

On suppose que les valeurs de la liste x sont rangées dans l’ordre croissant.

Dire ce que représente la variable p dans ce code et comment on peut le modifier pour que la fonction renvoie la plus grande valeur de la série statistique telle que le nombre de valeurs supérieures ou égales à soit supérieur à et, de même, pour les quartiles.

Ex.A2

1. On considère le tableau statistique ci-dessous qui donne les tailles en cm des individus d’une population réparties en six classes :

Taille Effectif cum.

a) Calculer la moyenne de cette série statistique en prenant pour valeur le milieu de chaque classe (valeur exacte et valeur arrondie au centième).

b) Préciser dans quelle classe se situent les médianes de la série.

c) Pour estimer une médiane, on suppose que les valeurs sont régulièrement réparties dans chaque classe. On obtient ainsi une nouvelle série statistique où chaque valeur est observée une seule fois.

On note les valeurs dans l’ordre croissant à partir de jusqu’à et on prend pour médiane le milieu de l’intervalle dans lequel se situent toutes les médianes.

Démontrer que, pour tout ,

. d) En déduire .

Méthodes et indications

(5)

Exercices de base

Ex.B1 (voir aussi Ex. B22 du chapitre 11)

1. a) Ne pas confondre le pourcentage et la fréquence . On a donc pour arrondir au centième, il faut arrondir au dix-millième.

b) à d) Dire que est la valeur arrondie de à l’unité signifie que

2. a) Le coefficient multiplicateur dans une évolution de % est

. b) Si est la valeur initiale, avant l’évolution, et la valeur finale, on a . c) On a aussi sachant que est donnée par un encadrement (voir Ex.B11).

3. Avec les notations précédentes, on a .

4. a) .

b) Travailler avec les coefficients multiplicateurs

c) D’après a), pour arrondir au centième, il faut arrondir au dix-millième.

Ex.B2

1. a) La moyenne d’un ensemble de notes permet de calculer la somme de ces notes.

b) Dire que est la valeur arrondie de au dixième signifie que c) Noter le nombre d’élèves du troisième groupe et traduire l’énoncé par une inéquation.

2. Pour deux séries statistiques, et ), si pour tout alors .

Ex.B3

1. La moyenne d’une série est où est l’effectif total.

En Python, randint(a,b) renvoie un entier aléatoire entre a et b inclus. La fonction randint fait partie du module random ; il faut donc l’importer (from random import randint).

2. Dans le menu stats, écrire les valeurs dans la liste 1 et les effectifs dans la liste 2. On obtient les résultats avec CALC Stats 1 Var : est la moyenne, l’écart-type, Méd la médiane et Q1 et Q3 les premier et troisième quartiles si bien que l’écart interquartiles est Q3-Q1.

Exercices d’approfondissement Ex.A1

1. b) Remarquer que le nombre de valeurs supérieures ou égales à est égal à où est le nombre de valeurs strictement inférieures à .

d) Remarquer que, pour i fixé, p est le nombre de valeurs inférieures ou égales à x[i].

Modifier le code en faisant varier p pour que ce soit le nombre de valeurs supérieures ou égales à x[i] à partir de la plus grande des valeurs.

2. a) Commencer par calculer les effectifs de chaque classe.

c) Remarquer que et .

Corrigés

(6)

Exercices de base Ex.B1

1. On a , , , et . a) Le pourcentage d’hommes dans la population est

soit % environ.

b) Soit le nombre d’individus âgés de plus de 40 ans dans cette population.

On a donc soit .

Le nombre minimal d’individus âgés de plus de 40 ans est donc et le nombre maximal . Remarque. On aurait pu écrire donc et, inversement, en considérant la fonction round(X/986,2), constater sur un tableur qu’elle prend la valeur pour compris entre et inclus.

c) Soit le nombre d’individus dans la population .

On a donc ou encore

. On a

et

donc .

Le nombre minimal d’individus dans la population est donc et le nombre maximal . d) Soit le pourcentage de dans , celui de dans et celui de dans .

On a

donc

.

Par hypothèse, on a et donc

. Or et donc le pourcentage, arrondi à l’unité, de dans est égal à ou .

2. En notant la valeur initiale, la valeur finale (arrondies au centième) et le coefficient multiplicateur dans une évolution de % ( pour une augmentation et pour une diminution), on obtient le tableau suivant :

% si max si

%

%

%

%

%

%

a)

b)

c) et donc .

3. On a et . a) On a

donc

c’est-à-dire

ou encore . Ainsi

.

Il s’agit donc d’une diminution de % (arrondi au centième).

b) De même

Il s’agit donc d’une augmentation de % (arrondi au centième).

4. a)

donc

et . On a donc le tableau suivant :

(7)

Évolution

Augmentation de %

Augmentation de %

Augmentation de %

Diminution de %

Diminution de % Diminution de %

b) Pour une augmentation de %, le coefficient multiplicateur est .

Pour deux augmentations, le coefficient est ce qui correspond à une augmentation de % (arrondi au centième).

c) Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de % est . Soit le coefficient multiplicateur correspondant à l’augmentation cherchée.

On a donc

L’augmentation qui doit suivre la diminution de % pour qu’au total l’évolution soit nulle est donc de % (arrondi au centième).

Ex.B2

1. a) On a pour élèves et pour élèves.

La somme des notes du premier groupe est et celle du deuxième groupe . On a donc

et .

b) On a et donc .

Comme les notes sont des multiples de , il en est de même de et on a . De même et donc ou encore

. Alors

ou encore

. On en déduit .

c) On a et .

Soit le nombre d’élèves du troisième groupe.

On a

donc .

Alors et donc le nombre maximal d’élèves du groupe est .

2. On a et . a) Donc .

b) Pour que la moyenne passe de à , il suffit de retrancher à tous les . Posons . Comme les sont des entiers, il en est de même des et on a .

Ex.B3

1. a) La moyenne se calcule en ajoutant toutes les valeurs autant de fois que leur effectif. Les valeurs sont donc codés x[i] et, comme i varie de 0 à len(x)-1 inclus, len(x) est la longueur (length en anglais) de la liste x c’est-à-dire le nombre de valeurs de la série statistique.

b) Dans les trois codes N s’obtient en ajoutant n[i] pour tout i ; c’est donc l’effectif total.

c) On a où est la moyenne et l’effectif total de la série statistique. L’écart-type est donc la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs et leur moyenne.

d) Dans le code de la fonction prop, X est le nombre de valeurs qui appartiennent à l’intervalle où et la moyenne et l’écart-type de la série.

La valeur X/N renvoyée par la fonction est donc la fréquence de ces valeurs.

(8)

e)

x,n=[],[]

for i in range(10):

x+=[i]

n+=randint(0,23) #importer depuis le module random print(x,n,moyenne(x,n),écartType(x,n),prop(x,n))

On obtient par exemple :

et ce qui signifie que toutes les valeurs sont dans l’intervalle

Remarque. On peut évidemment retrouver et avec une calculatrice.

2. On obtient les deux séries statistiques suivantes :

Série 1 : Valeurs

Effectifs

Série 2 : Valeurs

Effectifs

a) , , et .

Remarque. Certaines calculatrices peuvent donner d’autres valeurs pour et (voir Ex.A1).

b) , , et .

c) Remarquons tout d’abord que les deux séries ont le même effectif total .

Comme , les valeurs de la série 1 sont globalement plus élevées que celles de la série 2.

Comme il y a au moins % de valeurs de la série 1 qui sont inférieures ou égales à et % qui lui sont supérieurs ou égales.

Pour la série 2, % des valeurs sont inférieures ou égales à .

Comme , les valeurs de la série 1 sont globalement plus dispersées que celles de la série 2 ce qui est confirmé par le fait que .

Exercices d’approfondissement Ex.A1

1. a) Un premier quartile est un réel tel que le nombre de valeurs inférieures ou égales à soit supérieur ou égal à et le nombre de valeurs supérieures ou égales à soit supérieur ou égal à . b) Par hypothèse, le nombre de valeurs inférieures ou égales à est supérieur ou égal à et, comme est la plus petite valeur ayant cette propriété, le nombre de valeurs inférieures ou égales à pour tout est strictement inférieur à .

Il s’agit de montrer que le nombre de valeurs supérieures ou égales à est lui aussi supérieur ou égal à . Or ce nombre est où est le nombre de valeurs strictement inférieures à , c’est-à- dire inférieures ou égales à avec .

D’après ce qui précède, donc – et . Ceci prouve que est une médiane.

On démontre de même que la plus petite valeur de la série statistique telle que le nombre de valeurs inférieures ou égales à soit supérieur ou égal à est un premier quartile.

(9)

c) Résumons les résultats dans un tableau :

d) La variable p augmente de n[i] au fur et à mesure que i augmente, c’est ce qu’on appelle l’effectif cumulé croissant. Pour i fixé, c’est le nombre de valeurs inférieures ou égales à x[i].

Pour que la fonction renvoie la plus grande valeur de la série statistique tel que le nombre de

valeurs supérieures ou égales à soit supérieur à et, de même, pour les quartiles, il suffit de faire varier p pour que ce soit le nombre de valeurs supérieures ou égales à x[i] à partir de la plus grande (effectif cumulé décroissant) :

def medQuart(x,n):

N=0

for i in range(len(n)):

N+=n[i]

i=len(n)-1 #modification p=n[i] #modification while p<N/4:

i-=1 #modification p+=n[i]

Q3=x[i] #modification while p<N/2:

i-=1 #modification p+=n[i]

M=x[i]

while p<3*N/4:

i-=1 #modification p+=n[i]

Q1=x[i] #modification return Q1,M,Q3

Ex.A2

1. a) Le tableau des effectifs cumulés croissants est :

Taille Effectif cum.

donc, par différences successives, on obtient le tableau suivant qui donne les effectifs de chaque classe :

Taille Effectif cum.

Alors

b) On a donc . Les médianes de la série se situent donc dans la classe c) On remarque que, pour tout , est la -ième valeur.

D’après le tableau des effectifs cumulés croissants, on a donc et . Comme les valeurs de la classe sont régulièrement réparties, l’écart entre deux consécutives est

. On en déduit que, pour tout ,

. d) Comme , les médianes sont dans l’intervalle .

On a donc

.

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