E432 – Le jeu de Grundy [***** à la main et avec l’ordinateur]
Solution
Comme dans la plupart des jeux apparentés au jeu de NIM, une manière commode d’analyser le jeu est de commencer par les petites valeurs de N, nombre de jetons dans le tas initial, et de tracer si nécessaire le graphe associé aux différentes positions possibles du jeu.
Pour N=3, il est inutile de tracer un graphe, le 1er joueur est évidemment gagnant car il divise le tas initial en deux tas de 1 et 2 jetons et le 2ème joueur est bloqué. On dira que N=3 est G(3) c’est à dire position gagnante pour le joueur qui a la main.
Pour N=4, il y a une seule façon de scinder le tas initial en deux tas de 1 et 3 jetons. Le 1er joueur laisse ainsi une position gagnante pour le 2ème joueur qui se retrouve avec la configuration de 3 jetons précédemment analysée. On dira que N=4 est P(4) c’est à dire position perdante pour le joueur qui a la main.
Pour N=5, il y a deux façons de scinder le tas initial (1,4) et (2,3). Si le 1er joueur laisse (2,3), il donne au 2ème joueur une position gagnante pour ce dernier. Le 1er joueur laisse donc (1,4) qui est une position perdante pour celui qui a la main. On a donc G(5). De la même manière on a G(6) car le 1er joueur laisse (2,4) à son adversaire.
Pour N=7, il devient intéressant de tracer le graphe car le nombre de combinaisons possibles s’accroît déjà fortement.
Chaque cercle (ou sommet du graphe) représente l’une des positions possibles et est décrit par la répartition des jetons dans les différents tas qui se constituent au fur et à mesure que la partie se déroule. Au 1er niveau, un seul tas de 7 jetons, puis au 2ème niveau il y a 2 tas qui peuvent être (1,6) ou (2,5) ou (3,4) , au 3ème niveau il y a 3 tas qui peuvent être (1,1,5) ou (1,24) …jusqu’au dernier niveau possible avec 6 tas distincts. Les cercles sont reliés entre par des arcs (tous descendants) lorsque la règle du jeu le permet. C’est ainsi que les
configurations de 2 tas (1,6), (2,5) et (3,4) peuvent toutes trois donner naissance à la configuration à 3 tas (1,2,4).
Les positions perdantes P pour celui qui a la main sont repérées par les cercles hachurés en vert et font partie de ce qu’on appelle le noyau du graphe NO. A contrario toute position qui ne fait pas partie de NO est une position gagnante G. Comment sont déterminées les positions perdantes ? Ce sont tout d’abord les positions sans descendance : (1,2,2,2) , (1,1,1,2,2) et (1,1,1,1,1,2). Ensuite l’appartenance ou non de chaque position au noyau NO obéit aux deux règles suivantes :
- tout sommet du graphe n’appartenant pas à NO a au moins un descendant et parmi ceux- ci un sommet du noyau. En d’autres termes le joueur qui a la main avec une position gagnante est certain de laisser une position perdante à celui qui joue après lui.
- un sommet quelconque du noyau ne peut avoir de descendant, s’il en a un, que hors du noyau. Cela signifie que le joueur qui a une position perdante est obligé, quelle que soit sa façon de jouer, de laisser une position gagnante à celui qui joue après lui.
C’est ainsi que de proche en proche, à partir des 3 positions sans descendance, on déduit que les positions (1,1,1,4) puis (1,2,4) et (1,3,3) font partie de NO ainsi que la situation initiale elle-même (7).
Pour les valeurs supérieures de N et en particulier pour N=21 et a fortiori pour N=2005, le tracé du graphe devient inextricable car l’arborescence de toutes les configurations possibles est trop dense. P.M. Grundy a découvert en 1930 un algorithme de recherche du noyau du graphe qui consiste à indexer les sommets du graphe par un nombre entier qui est le plus petit nombre entier positif ou nul n’apparaissant pas dans les indices des sommets qui sont les descendants du sommet considéré. Chaque sommet final, c’est à dire sans descendance, se voit attribuer l’indice 0 écrit en rouge à côté du sommet concerné sur le graphe ci-dessus. Il en résulte l’indice 1 pour (1,1,1,1,3) ,(1,1,2,3) et (2,2,3), puis l’indice 0 pour (1,1,1,4) et (1,2,4) et l’indice 2 pour (1,1,5), puis l’indice 1 pour (1,6) et (3,4) et l’indice 2 pour (2,5), enfin l’indice 0 pour (7). On vérifie que toutes les positions perdantes qui font partie du noyau NO ont l’indice 0. Tous ces indices écrits en rouge sur le graphe sont appelés les nombres de Grundy.
Une particularité de ces nombres est qu’on peut les « additionner ». En effet P.M. Grundy constatant qu’après la position de départ les positions suivantes ne sont pas un jeu sur un seul tas mais une somme de jeux dans différents tas, a démontré (la démonstration elle-même sortant du cadre de cette rubrique) que les nombres qui portent son nom et découlent d’ une situation initiale de N jetons, peuvent être obtenus en faisant la somme digitale en base 2 ou NIM-addition (désignée ci-après par ) des nombres de Grundy des jeux composants. Alors pour tout couple d’entiers (x,y) descendant de N tel que x+y=N, on aura G(x,y) = G(x) G(y). On en déduit le nombre de Grundy G(N) qui sera le plus petit nombre entier positif ou nul n’apparaissant pas dans la liste des indices des sommets qui sont les descendants de N.
Pour toute valeur N telle que G(N)=0, on aura une position initiale perdante. A contrario pour tout N tel que G(N) 0, la position initiale est gagnante.
On rappelle que la NIM-addition (voir problème E420) consiste à écrire les nombres en base 2 puis à faire leur somme en base 2 sans retenue et à reconvertir le résultat en base 10. Ainsi la NIM-addition de 7et 15 qui s’écrit 7 15 , se calcule ainsi : 7 en base 2 est égal à 111, 15 en base 2 est égal à 1111, leur somme sans retenue est 1000 car la somme des deux 1 en 2ème,3ème et 4ème positions donne 0 plus une retenue qui est ignorée. 1000 vaut 8 en base 10. On a donc 7 15 = 8. La table ci-après donne la table de NIM-addition des nombres de 0 à 10.
A partir de cette table, on peut déduire pour toutes les valeurs de N 21, la table des nombres de Grundy de G(x,y) tels que x+y=N avec x<y et puis les nombres de Grundy G(N) de N.
Le tableau se lit ainsi : à l’intersection de la ligne N=10 et de la colonne x=3, on lit le nombre de Grundy G(3,7)=1 correspondant à x=3 et y=10-3=7. De même G(7,11) = 2 lu à
l’intersection de la ligne N=18 et de la colonne x=7.
La dernière colonne en rose donne les nombres de Grundy des tas initiaux. Par exemple pour N=14, les indices observés pour les tas descendants G(x,y) sont 0,1 et 3. Le plus petit entier qui n’apparaît dans cette liste est 2.D’où G(14)=2. De même pour la valeur de N qui nous intéresse N=21, tous les indices 0,1,2 et 3 ont été notés. Il en résulte G(21)=4.
Les positions perdantes du noyau NO ont été identifiées en rouge. Elles correspondent aux tas initiaux 4,7,10,20 . La série plus complète des positions perdantes est donnée dans
l’encyclopédie en ligne des suites d’entiers de Sloane : http://www.research.att.com/~njas/sequences.
Les termes en nombre fini sont : 1, 2, 4, 7, 10, 20, 23, 26, 50, 53, 270, 273, 276, 282, 285, 288, 316, 334, 337, 340, 346, 359, 362, 365, 386, 389, 392, 566, 630, 633, 639, 673, 676, 682, 685, 923, 926, 929, 932, 1222.
En conclusion avec N=21 comme avec N=2005, le 1er joueur qui joue gagne le jeu de Grundy.
