A404 – L’âne, le bardot et le mulet
Source : d’après un grand classique qui date de l’Antiquité et qui a été repris par Alcuin, Mahavira, Fibonacci et bien d’autres sous différentes formes...
Georgios se rend au marché de Corinthe avec son âne, son bardot et son mulet pour vendre N amphores de retsina. Au départ il les répartit entre a, b et m amphores sur l’âne, le bardot et le mulet, l’âne étant plus chargé que le bardot.
En cours de route, le bardot est le premier à montrer des signes de fatigue. Georgios transfère alors un certain nombre d’amphores du bardot à l’âne et ce dernier peut alors braire : « mon bât est k fois plus chargé que celui du bardot ».
Un peu plus loin, c’est au mulet de montrer des signes d’essoufflement et Georgios fait passer un certain nombre d’amphores du mulet au bardot et ce dernier peut s’exprimer comme son prédécesseur : « mon bât est k fois plus chargé que celui du mulet ».
A quelques encablures de Corinthe, c’est au tour de l’âne de ralentir la cadence et Georgios fait passer un certain nombre d’amphores de l’âne au mulet et ce dernier peut s’exprimer comme ses deux acolytes : « mon bât est k fois plus chargé que celui de l’âne ».
Georgios a choisi N, a, b et m qui sont des nombres premiers. Lors de chacun des trois transferts opérés d’un animal à un autre, le nombre d’amphores transférées est strictement inférieur à 10 et c’est le même entier k qui a été prononcé par l’âne, le bardot et le mulet.
Calculer N, a, b et m et déterminer la charge de chaque animal à l’arrivée au marché de Corinthe.
Solution proposée par Patrick Gordon
Le bon sens suggère d'essayer les valeurs successives de k et de prendre des valeurs de a, b et m aussi petites que possible.
Avec k = 2, il faut, pour le premier transfert, que a + b soit divisible par 3. Or a et b sont des nombres premiers. Le couple a=7, b=5 pourrait faire l'affaire mais il conduit à a' = 8, b' = 4.
Le plus petit m premier tel que b' + m soit divisible par 3 est 11 (la somme N est alors égale à 23, qui est premier). Le deuxième transfert conduit à b" = 10, m' = 5. Mais a' + m' = 13, qui n'est pas divisible par 3 et le troisième transfert est donc impossible.
Après quelques essais, on aboutit à la solution suivante (avec toujours k = 2) :
a 13 16 16 7
b 11 8 10 10
m 7 7 5 14
La répartition initiale est 13, 11, 7 (somme N = 31) et la répartition à l'arrivée est 7, 10, 14.
