Enoncé A404 (Diophante) L’âne, le bardot et le mulet
Georgios se rend au marché de Corinthe avec son âne, son bardot et son mulet pour vendre N amphores de retsina. Au départ il les répartit entre a,betmamphores sur l’âne, le bardot et le mulet, l’âne étant plus chargé que le bardot. En cours de route, le bardot est le premier à montrer des signes de fatigue. Georgios transfère alors un certain nombre d’amphores du bardot à l’âne et ce dernier peut alors braire : « mon bât est kfois plus chargé que celui du bardot ». Un peu plus loin, c’est au mulet de mon- trer des signes d’essoufflement et Georgios fait passer un certain nombre d’amphores du mulet au bardot et ce dernier peut s’exprimer comme son prédécesseur : « mon bât est k fois plus chargé que celui du mulet ». A quelques encablures de Corinthe, c’est au tour de l’âne de ralentir la ca- dence et Georgios fait passer un certain nombre d’amphores de l’âne au mulet et ce dernier peut s’exprimer comme ses deux acolytes : « mon bât est k fois plus chargé que celui de l’âne ». Georgios a choisi N,a,b etm qui sont des nombres premiers. Lors de chacun des trois transferts opérés d’un animal à un autre, le nombre d’amphores transférées est strictement inférieur à 10 et c’est le même entier k qui a été prononcé par l’âne, le bardot et le mulet.
Calculer N,a,betmet déterminer la charge de chaque animal à l’arrivée au marché de Corinthe.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soientu, v, wles nombres d’amphores transférés (dans cet ordre). Les rap- ports ks’écrivent
k= a+u
b−u = b−u+v
m−v = m−v+w a+u−w
Comme système d’équations linéaires en les inconnues a, b, m, ce système a pour déterminant k3−1 = (k−1)(k2+k+ 1), et pour solution
a=w−u+ v+ 2w
3(k−1)+(k−1)(w−v) 3(k2+k+ 1) ,
b=u+ v+ 2w
3(k−1)+(k+ 2)(w−v) 3(k2+k+ 1) , m=v+ v+ 2w
3(k−1)−(2k+ 1)(w−v) 3(k2+k+ 1) .
Comme 1≤ u, v, w ≤9, on a |w−v| ≤ 8. Si k = 3 ou k >4, le facteur k2+k+ 1 du dénominateur a un diviseur, premier avec k−1, et > 10.
Il ne peut se combiner avec la fraction de dénominateur 3(k−1), ni se simplifier avec aucun des facteurs du numérateur, sauf siw−v= 0.
1) Siw=v, alorsa+u−w, b−u, m−v ont la même valeurv/(k−1). Si ce dernier nombre est> 1, c’est un diviseur de v et donc un diviseur de m; commem est premier, il faut v=k−1,m=k=a+u,b=u+ 1.
Mais alors les équations de départ donnent k = 2/(k−1) = k/(k−1), k= 2, a= 2−u ne peut pas être premier.
On a doncw 6=v, etk= 2 ou 4 pour que k2+k+ 1 n’ait pas de facteur gênant.
2) Supposons k = 4. Alors a = w−u+ (v+ 2w)/9 + (w−v)/21 ; pour simplifier le facteur 7 en dénominateur, prenonsw=v+ 7eavec e=±1 ; cela donne a=w−u+ (3v+ 17e)/9 qui ne peut pas être entier.
3) Supposons k = 2. Alors a = w−u+ (v+ 2w)/3 + (w−v)/21 ; pour simplifier le facteur 7 en dénominateur, prenonsw=v+ 7eavec e=±1 ; cela donne a= 2v−u+ 12e,b=u+v+ 6e,m= 2v+ 3e,N = 5v+ 21e.
On voit que u est impair, v est pair, et v > 2u−6e pour que a > b. Si e=−1,v >2u−6eest impossible carv≤9,u≥1 etv pair. Donce= 1, 9≥w=v+ 7 d’oùw= 9, v= 2, m= 7, N = 31 ;a= 16−u > b= 8 +u, d’oùu= 3, a= 13, b= 11.
Les N = 41 amphores étaient réparties au départ 13 sur l’âne, 11 sur le bardot et 7 sur le mulet. Cette répartition est devenue 16, 8, 7 après le premier transfert, 16, 10, 5 après le second, et 7, 10, 14 après le troisième et jusqu’à Corinthe.
