A404 – L’âne, le bardot et le mulet [** à la main]
Source : d’après un grand classique qui date de l’Antiquité et qui a été repris par Alcuin, Mahavira, Fibonacci et bien d’autres sous différentes formes...
Georgios se rend au marché de Corinthe avec son âne, son bardot et son mulet pour vendre N amphores de retsina. Au départ il les répartit entre a, b et m amphores sur l’âne, le bardot et le mulet, l’âne étant plus chargé que le bardot.
En cours de route, le bardot est le premier à montrer des signes de fatigue. Georgios transfère alors un certain nombre d’amphores du bardot à l’âne et ce dernier peut alors braire : « mon bât est k fois plus chargé que celui du bardot ».
Un peu plus loin, c’est au mulet de montrer des signes d’essoufflement et Georgios fait passer un certain nombre d’amphores du mulet au bardot et ce dernier peut s’exprimer comme son prédécesseur : « mon bât est k fois plus chargé que celui du mulet ».
A quelques encablures de Corinthe, c’est au tour de l’âne de ralentir la cadence et Georgios fait passer un certain nombre d’amphores de l’âne au mulet et ce dernier peut s’exprimer comme ses deux acolytes : « mon bât est k fois plus chargé que celui de l’âne ».
Georgios a choisi N, a, b et m qui sont des nombres premiers. Lors de chacun des trois transferts opérés d’un animal à un autre, le nombre d’amphores transférées est strictement inférieur à 10 et c’est le même entier k qui a été prononcé par l’âne, le bardot et le mulet.
Calculer N, a, b et m et déterminer la charge de chaque animal à l’arrivée au marché de Corinthe.
Solution proposée par Paul Voyer
N=a+b+m ; N, a, b, m premiers, a>b
Le plus petit vaut au moins 3, sinon N serait pair. Donc a≥5 et N≥19.
départ a b m
1er transfert a+x b-x m
2ème transfert a+x b-x+y m-y
3ème transfert a+x-z b-x+y m-y+z
1er transfert : a+x=k(b-x) >> k≥2 2ème transfert : b-x+y=k(m-y)
3ème transfert : m-y+z=k(a+x-z) x, y, z <10
Par addition, N+z=k(N-y-z) ou N(k-1)=ky+(k+1)z Essai avec k=2
a =2b-3x x=(2b-a)/3 entier >0 et <10 b =2m+x-3y y=(2m+x-b)/3 entier >0 et <10
m=2a+2x+y-3z z=(2a+2x+y-m)/3 entier >0 et <10
Par addition, on obtient a+b+m-2y-3z=0 donc N ≤ 45 ; en pratique N<=43.
En listant tous les cas et en éliminant les configurations où a>b, on trouve une seule solution :
a=13, b=11, m=7, N=31, x=3, y=2, z=9
départ a=13 b=11 m=7
1er transfert 13+3=16=2b 11-3=8 7
2ème transfert 16 8+2=10=2m 7-2=5
3ème transfert 16-9=7 10 5+9=14=2a
Pour k=3, 2N= 3y+4z, N ≤ 31, pas de solution Pour k≥4, N ≤ 23, pas de solution
