1`ere 11 DM 6 4 f´evrier 2015 Une enquˆete a ´et´e r´ealis´ee aupr`es des ´el`eves inscrits `a la demi-pension d’un lyc´ee. Les r´esultats r´ev`elent que :
— 95 % des ´el`eves d´eclarent manger r´eguli`erement `a la cantine et parmi ceux- ci 70 % sont satisfaits de la qualit´e des repas ;
— 20 % des ´el`eves qui ne mangent pas r´eguli`erement sont satisfaits de la qualit´e des repas.
On choisit un ´el`eve au hasard parmi les ´el`eves inscrits `a la demi-pension.
On note les ´ev`enements suivants :
R l’´ev`enement :l’´el`eve mange r´eguli`erement `a la cantine; S l’´ev`enement :l’´el`eve est satisfait.
On noteraR etS les ´ev`enements contraires de R etS.
1. Construire un arbre pond´er´e d´ecrivant la situation.
2. Calculer la probabilit´e que l’´el`eve mange r´eguli`erement `a la cantine et soit satisfait de la qualit´e des repas.
3. Montrer que la probabilit´e de l’´ev`enementS est ´egale `a 0,675.
4. Sachant que l’´el`eve n’est pas satisfait de la qualit´e des repas, calculer la pro- babilit´e qu’il mange r´eguli`erement `a la cantine. Donner le r´esultat arrondi
` a 10−3.
5. On interroge successivement et de fa¸con ind´ependante quatre ´el`eves pris au hasard parmi les ´el`eves inscrits `a la demi-pension.
On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre d’´el`eves d´eclarant ˆetre satisfaits de la qualit´e des repas. Le nombre d’´el`eves est suffisamment grand pour que le tirage des ´el`eves soit assimil´e `a des tirages ind´ependants avec remise.
Les r´esultats seront arrondis au milli`eme.
(a) Calculer la probabilit´e de l’´ev`enement A : les quatre ´el`eves sont satisfaits de la qualit´e des repas.
(b) D´ecrire `a l’aide d’une phrase l’´ev`enementA et calculer sa probabilit´e.
