D165. Trisection d'un triangle pythagoricien

D165. Trisection d'un triangle pythagoricien

Solution de Pierre Gineste

AB = c = 4 BC = a = 5 CA = b =3.

angle(ABC) = angle(BCA) = angle(CAB) =

Le triangle ABC est formé des centres de cercles tangents 2 à 2 de rayons RA = 1, RB = 3, RC

= 2.

Leurs points de tangence sont les points D, E, F.

1/ Soit le cercle (c) passant par A, I et C. Son centre est sur la médiatrice (d) de AC. R est le symétrique de I par rapport à (d): il est donc sur le cercle (c).

Reste à montrer que P est aussi sur (c). Prouvons le en montrant que angle(APC) = = angle(AIC)

Dans le triangle AIC, on a la relation:AC² = AI² + IC² – 2 AI.IC.cos( ).

D'où: cos( ) = -1/√10

On a les égalités des angles suivantes:

angle(FIA) = angle (DIR) =

Le triangle FIP est isocèle, donc angle(IFP) = ( )/2 ==> angle(AFP) = /2 et FP = 2sin( /2) Dans le triangle AFP, on a la relation:AP² = AF² + FP² – 2 AF.FP.cos( /2). D'où: AP = 1/√5 Dans le triangle APC, on a la relation:AP/sin(ACP) = AC/sin(APC)

Le triangle PCD étant un demi-carré, droit en D avec DP=DC=2

==> PC = 2√2 et angle(DCP) = /4

Donc: angle(ACP) = /4 ==> sin(ACP) = 1/5√2

==> sin(APC) = AC/AP*sin(ACP) = 3/√2

==> APC = CQFD

3/ Soit S la projection de R sur AC. On a la relation: SR/SC = EQ/EC = 1. C, R et Q sont alignés.

Les projections A, E, S de V, Q, R ayant la relation AE = ES = SC = 1, on bien sûr VQ = QR = RC = √2

2/ Dans le triangle APC on a la relation: PC/sin(PAC) = AC/sin(APC)

==> sin(PAC) = 2√5 = EQ/AQ

==> la droite AP passe par Q