D1813. Un encadrement
Soit un triangle ABC acutangle. Les points A’,B’ et C’ sont les sym´etriques des sommets A, B et C par rapport aux cˆot´es BC, CA et AB. On d´esigne par S l’aire du triangle ABC et S’ celle du triangle A’B’C’. Trouver la plus grande borne inf´erieure a et la plus petite borne sup´erieure b du rapport S’/S.
Pour que le triangleABCsoit acutangle,Cdoit rester dans la bande d´elimit´ee par les perpendiculairesDaetDb`aABenAet enB, et `a l’ext´erieur du cercle Γ de diam`etreAB.
QuandC est sur l’une des limites, l’un des angles deABC est droit : S0 S = 3.
QuandABC est ´equilat´eral (C confondu avecE) : S0 S = 4.
En dehors de ces cas, on a 3< S0 S <4.
Quel que soitC, on peut construire 5 triangles semblables `aABC, pour lesquels le rapport S0
S est le mˆeme : 2 sont repr´esent´es parABC1etABC2, les 3 autres sont les sym´etriques par rapport `a la m´ediatrice deAB.
Ces 6 points entourentE qui est donc un extr´emum.
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