Problème numéro D1837

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Problème numéro D1837

(solution par Joël Benoist)

Énoncé.On considère un point Mà l’intérieur d’un triangle ABC.La tangente enM au cercle circonscit au triangleBC Mrencontre la droite (AB) au pointDet la droite (AC) au pointE. Les cercles circonscrits aux tri- anglesB D MetC E Mse rencontrent en un deuxième pointRautre queM. Démontrer que le cercle circonscrit au triangleDE Rest tangent au cercle circonscrit au triangleABC.

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Solution.Nous allons utiliser le lemme suivant.

Lemme.SoitC etC⁰deux cercles qui se rencontrent en deux points notésI etJ. SoientA(resp.B) un point distinct deI,Jsur le cercleC (resp.C⁰). Notonst_I(resp.t_J) la tangente enI(resp.J) au cercle passant par les pointsA,B,I(resp.A,B,J) ; si les trois points sont alignés le cercle se réduit à une droite. Alors l’angle orienté (t_I,t_J), défini moduloπ, entre les deux tangentes ne dépend pas des pointsAetB. Nous noteronse(C,C⁰) cet angle constant.

Preuve du lemme.Grâce à la formule de Chasles sur les angles de droites orientés, nous avons (t_I,t_J)=(t_I,I A)+(I A,J B)+(J B,t_J)

et une propriété angulaire classique sur le cercle appliquée deux fois nous donne alors : (t_I,t_J)=(B I,B A)+(I A,J B)+(AB,A J).

A nouveau avec la formule de Chasles on conclut :

(t_I,t_J)=(B I,A J)+(I A,J B)=(B I,B J)+(B J,A J)+(I A,J B)=(AI,A J)+(B I,B J).

Le dernier terme ne dépend pas deAetB, d’où le résultat.

Choisissons le cercleC passant par les pointsB,D,M,Ret le cercleC⁰passant par les pointsC,E,M,R. Les deux cerclesC etC⁰se rencontrent aux deux pointsMetR. D’une part d’après le lemme, en choisissant les pointsD,Enous avons :

e(C,C⁰)=(DE,t), (1)

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oùt est la tangente enRau cercle circonscrit au triangleDE R notéC1. D’autre part d’après le lemme, en choisissant les pointsB,C, nous avons :

e(C,C⁰)=(DE,t⁰), (2)

oùtest la tangente enRau cercle circonscrit au triangleDC RnotéC2. En comparant les égalités (1) et (2), il vienttparallèle àt⁰, puist=t⁰puisque ces deux tangentes ont en particulierRcomme point commun. Donc les deux cerclesC1etC2sont tangents enR. Pour conclure il suffit de démontrer queRappartient au cercle circonscrit au triangleABC, ce qui est évident puisque les égalités suivantes

(RB,RC)=(RB,R M)+(R M,RC)=(DB,D M)+(E M,EC)=(AB,E M)+(E M,AC)=(AB,AC)

entraînent la cocyclicité des quatre pointsA,B,CetR.

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