D138 - Des cercles `a perp´etuit´e - Enonc´e
On trace un triangle quelconque ABC puis un premier cercle passant par les sommets A et B, puis un deuxi`eme cercle tangent au premier et passant par les sommetsAet C, puis un troisi`eme cercle tangent au deuxi`eme cercle et passant par les sommetsB etC, puis un quatri`eme cercle tangent au troisi`eme et passant
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a nouveau par les pointsA etB, ... et ainsi de suite jusqu’`a ce que l’on parvienne `a tracer un ni`eme cercle qui se confonde avec l’un des cercles d´ej`a trac´es.
Le trac´e des cercles est-il perp´etuel ?
Source : d’apr`es olympiades am´ericaines de math´ematiques.
D138 - Des cercles `a perp´etuit´e - Corrig´e
NotonsI, J, K les milieux respectifs des segments [AB],[AC] et [BC]. Notonsd1, d2, d3 les m´ediatrices res- pectives des segments [AB],[AC] et [BC].
On appelleC1 un cercle passant par A et B, C2 celui passant parA et C et tangent `a C1 et ainsi de suite jusqu’`aC7. On appelleraOi le centre du cercleCi aveci∈ {1,2, ...7}.
Notonsα=(−−→d AB,−→
AC),β=(−−→d BC,−−→
BA) etγ=(−→d CA,−−→
CB).
Enfin, on notera par ω1 l’angle (−−→d O1I,−−→
O1A), par ω2 l’angle (−−→d O2J ,−−→
O2C) et ainsi de suite jusqu’`a ω7 = (−−→d
O7I,−−→
O7A). (Si un point Oi est confondu avec un milieu d’un des cˆot´es du triangle ABC, on donnera pour valeur π
2[π] `a l’angleωi ce qui laisse le raisonnement suivant coh´erent - on peut imaginer faire tendre l’angle en question vers π
2).
Nous allons prouver que O1 =O7 ce qui prouvera que le trac´e des cercles n’est pas perp´etuel (au sens de tous 2 `a 2 distincts) mais p´eriodique de p´eriode 6.
?Remarquons tout d’abord queO1∈d1(car le centre d’un cercle appartient `a la m´ediatrice de chacune de ses cordes) et de mˆeme, on a :O2∈d2, O3∈d3, O4∈d1, O5∈d2, O6∈d3, O7∈d1.
? Deux cercles tangents en un un point M ont des centres align´es avec ce point M de tangence. Donc O1, A, O2 sont align´es ainsi que O2, C, O3 et ainsi de suite. On a donc : (−−→d
AO1,−−→
AO2) = 0[π]. D’o`u, grˆace `a la relation de Chasles et `a la somme des angles d’un triangle : α= ω1+ω2[π]. On prouve de mˆeme que γ=ω2+ω3=ω5+ω6[π],β =ω3+ω4=ω6+ω7[π] etα=ω4+ω5[π].
?Ainsi, on a :ω1+ω2+ω3+ω4+ω5+ω6=α+β+γ=ω4+ω5+ω6+ω7+ω2+ω3[π] et donc :ω1=ω7[π].
? Si les pointsO1 et O7 sont diff´erents, grˆace `a l’´egalit´e pr´ec´edente, on peut affirmer que O1, O7, A, I sont cocycliques ce qui est absurde carO1, I, O7sont align´es surd1. DoncO1=O7.
Remarque : Si O1 est situ´e au centre du cercle circonscrit au triangle ABC, alors tous les point Oi sont confondus et on a une suite de cerclesCi tous confondus.
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